„Най-накрая, трябва да бъде посочено, че никаква особена философия не е свързана с горното противоречие, което изхожда директно от здравия разум и може да бъде разрешено единствено чрез изоставяне на някое от допусканията, поддържани от същия този разум. Само Хегеловата философия, която живее от противоречието, би останала незасегната от това, тъй като тя така или иначе открива подобни проблеми навсякъде" (Russell 1937, 105)

В настоящия текст са разгледани три различни формулировки на знаменития парадокс на Ръсел, които откриваме в неговите „Принципи на математиката"; оттук насетне те ще бъдат обозначавани като „теоретико-множествена", „предикатна" и „релационна". Показано е, че всяка от тях обитава свой специфичен идеен контекст: първата е свързана с упоритите опити на Ръсел да открие грешка в извеждането на фундаменталната теорема на Кантор (§1), втората е съотнесена с критиката на логическото разбиране за ролята на предиката в съждението, което е част от недолюбваната от Ръсел монистична метафизика на Брадли (§2), а третата препраща към диалектическата разработка на категорията „различие", която е част от философските системи на Платон и Хегел (§3).

***

§1.Не би било преувеличено да се твърди, че историята на изследователските усилия, довели до написването на Principia Mathematica е всъщност история на опитите за намиране на изход от кризата, в която изследванията на основите на математиката изпадат след откриването на парадокса на Ръсел. Това ни дава правото днес, сто години след нейното публикуване, да се върнем отново към онова едновременно разрушително и съзидателно противоречие, което променя завинаги облика на съвременната математика и да се запитаме: как и защо Ръсел формулира въпросната антиномия? Поне на пръв поглед, отговорът на този въпрос е лесно достижим, тъй като ни е предоставен по напълно недвусмислен начин от самия му откривател. Наистина, в различни свои текстове Ръсел посочва, че достига до своето откритие в резултат от продължителните си и осъдени на неуспех опити да опровергае фундаменталната теорема на Кантор, според която не съществува най-голямо кардинално число - в „Принципи на математиката" (Russell 1937, 101), във „Въведение в математическата философия" (Russell 1920, 136), в първия том на своята „Автобиография" (Russell 1967a, 221) и в „Моето философско развитие" (Russell 1975, 58). Последният от споменатите текстове предлага най-изчерпателно обяснение и затова ще си позволя да го приведа изцяло: „Достигнах до това противоречие като разгледах доказателството на Кантор, че няма най-голямо кардинално число. Бидейки съвсем наивен си мислех, че броят на всички неща в света трябва да бъде най-голямото възможно число и приложих разсъждението в това доказателство към въпросното число, за да видя какво ще се случи. Така се наложи да разгледам един твърде особен клас. Разсъждавайки по начина, който до този момент ми се струваше уместен, стигнах до извода, че този клас от една гледна точка е, а от друга не е елемент на самия себе си. Класът на чаените лъжички, например, сам по себе си не е чаена лъжичка, но класът от всички неща, които не са чаени лъжички, е едно от нещата, които не са чаени лъжички. Изглеждаше също, че има примери за такива класове, които не са отрицателни: класът на всички класове, например, също е клас. Така, прилагайки аргумента на Кантор, аз достигнах до разглеждане на класовете, които не са елементи на самите себе си; изглеждаше ми, че те също трябва да съставляват клас. Запитах се, дали този клас е елемент на самия себе си или не. Но, ако е елемент на самия себе си, той би трябвало да не притежава определящото свойство на този клас и следователно да не е елемент на самия себе си. Така всяка алтернативна възможност водеше до своята противоположност и противоречието се свежда до този факт" (ibid). По-нататък, от гледна точка на предложената в „Принципи на математиката" дедукция на парадокса на Ръсел от теоремата на Кантор, можем дори да твърдим, че те в известен смисъл са логически еквивалентни, въпреки че в извеждането на Ръселовия парадокс явно използваната от Кантор диагонална процедура остава скрита. Връзката между тях се вижда по повод на Ръселовото доказателство, че пропозиционалните функции са „повече" от всички обекти: „Да допуснем, че е налице корелация на всички обекти с пропозиционални функции и нека fx бъде корелатът на х. Тогава, "not-f_x(x)", тоест "f_x не е изпълнена за x" ще бъде пропозиционална функция, която не е включена в корелацията; тъй като тя ще бъде изпълнена или не за х според това, дали f_x не е или е изпълнена за x и следователно ще се различава от f_x за всяка стойност на х" (Russell 1937, 367). Това доказателство е напълно аналогично на начина, по който Кантор демонстрира невъзможността числовите функции на една променлива да бъдат поставени във взаимно еднозначно съответствие с елементите на тяхната дефиниционна област. Освен това, от него можем да изведем директно парадокса на Ръсел в предикатната му версия: ако допуснем, че пропозиционалните функции (предикатите) също са тип обекти (което изглежда уместно, тъй като в противен случай не бихме могли да говорим за тях), то на всяка от тях можем да съпоставим самата нея, разглеждана като обект. Това съпоставяне може да се разглежда като самопредициране: отнасяйки пропозиционалната функция f към самата нея, получаваме пропозицията f(f). Тогава горната функция "not-f_x(x)" не ще бъде нищо повече от диагонализация на така получената наредба, показваща, че функциите винаги ще бъдат повече от обектите, които са им съотнесени, защото за всеки обект може да бъде построена функция, която не е съотнесена с никой обект. По-нататък, тъй като теоремата на Кантор е изводима от доказаното отново от него твърдение, че множеството от подмножествата на дадено множество има по-голяма мощност от самото това множество, то парадоксът на Ръсел лесно може да бъде получен и от това твърдение: „За всяко взаимно еднозначно съответствие f с област A'Í A, чието множество от стойности е подмножество на P(A), класът K =_Df {x: xÎA' & xÏf(x)} принадлежи на P(A), но не и на множеството от стойности на f. Ако допуснем, че K е f-корелат на даден елемент y на A', тоест, ако yÎA' & f(y) = K, то ще следва, че yÎK « yÏK, от което ще следва противоречието yÎK & yÏK. Нека сега да видим, какво ще се получи, ако A е класът U на всички неща, а A' е подмножеството C на U, съдържащо всички класове, които не принадлежат на самите себе си - ще се окаже, че [ за дефинираният от Ръсел клас R,] RÎC & f(R) = R и следователно RÎR « RÏR" (Bunn 2000, 239).

§2.Това еднозначно доказва, че парадоксът на Ръсел наистина може да се получи чрез модифициране на разсъждението, което Кантор полага в основата на извеждането на своята теорема. Кога обаче Ръсел успява да открие начин да преобразува теоремата на Кантор в логическа антиномия? В случая спомените на Ръсел не са достатъчно ясни: в автобиографията си той посочва месец май 1901 година, припомняйки си по-рано същите събития споменава неопределено пролетта на 1901 година, а при два други случая - месец юни на същата година (Grattan-Guinness 2000, 312). От друга страна, в преписка със Журдан той посочва, че „е открил противоречието през месец юни, а през януари е знаел само, че нещо не е наред" (Anellis 2008, 34). Със сигурност може да се твърди единствено, че това се е случило преди 16 юни 1902 година, тъй като тази дата носи писмото до Фреге, в което той излага това разрушително за неговата система противоречие. От друга страна, първият ръкописен вариант на изложението на парадокса, който по-късно е публикуван в „Принципи на математиката" датира от месец май 1901 година (Grattan-Guinness 2000, 311), а първото текстуално свидетелство за откриването му се съдържа в кратък фрагмент от писмо на Ръсел до Кутюра, изпратено още на 8 декември 1900 година. Съществено значение има обстоятелството, че в Принципи откриваме предикатната версия на парадокса (формулирана чрез предиката "not predicable of itself"), докато негов теоретико-множествен вариант, който можем да разглеждаме като изведен от теоремата на Кантор също може да бъде открит сред ръкописите на Ръсел, но най-ранният от тях датира между май и април 1902 година, тоест, почти година по-късно (Griffin 2004, 366). Както посочва Грифин, това очевидно противоречи на обяснението, което Ръсел ни дава за това как е стигнал до своя парадокс, затова е възможно всичко, което той ни казва в спомените си, да е просто по-късна рационализация, представяща неправилно фактите: „изненадващо, особено от гледна точка на по-късните описания на откритието му, той достига до него не чрез явно разглеждане на класа от всички числа, най-големия кардинал или трихотомния закон за ординалите, а чрез допускане, че предикатите могат да бъдат отнасяни към самите себе си и разглеждане на отношението между предикати и класове ... Проблемите, свързани с различието или тъждествеността на предиката като предициран и предиката като логически субект съпътстват философията на Ръсел още от времето, когато той за пръв път приема реализма. От една страна, изглежда, че двата трябва да бъдат различни - тъй като единият е предикат, а другият е терм, - но същевременно те трябва да са тъждествени, тъй като при определени условия се налага да говорим за предиката, а това означава да го направим субект в пропозицията, без да го превръщаме в нещо различно ... първото публикувано изложение на парадокса в Принципи е свързано тъкмо с този въпрос ..." (Griffin 2004, 364-365). Това ни повежда по съвсем различна следа в търсенето на началата на парадокса на Ръсел. Първото място в Принципи, в което е повдигнат въпроса са самоприложимостта на понятията няма нищо общо с Кантор и неговата теория на множествата, то има съвсем различен, типично британски контекст. За да видим какъв е той, нека разгледаме съответния пасаж от текста: „Можем да си помислим, че трябва да се прави разлика между понятието като такова и понятието, използвано като терм, да кажем, между такива двойки като „е " и „съществуване", „човек" и „човешкост", едното в пропозиции като „Това е едно" и „Едно е число". Неотстраними затруднения биха се появили, ако допуснем подобно разбиране ... ако имаше прилагателни, които не могат да бъдат превърнати в съществителни без промяна в значението им, то всички пропозиции, отнасящи се до тези прилагателни биха били неистинни (тъй като в тях неизбежно биха били превърнати в съществителни), но същевременно би била неистинна и пропозицията, че всички тези пропозиции са неистинни, тъй като в нея отново прилагателните се превръщат в съществителни. Това, обаче, е противоречие ... Така че, теорията, че съществуват прилагателни, атрибути или идеални обекти както и да ги наричаме, които в известен смисъл са по-малко субстанциални, по-малко реални и самотъждестевни от истинските съществителни изглежда напълно погрешна и лесно може да бъде доведена до противоречие" (Russell 1937, 45-46). Така се вижда, че поводът, по който е повдигнат този въпрос, всъщност е критиката на теорията на Брадли, според която „съждението в собствения смисъл на думата е действие, което отнася идеално съдържание (разпознато като такова) към действителност, отвъд самия акт ... Идеалното съдържание е логическата идея, значението ... Тя се разпознава като такава, ако съзнаваме, че сама по себе си тя не е факт, а скитащо прилагателно" (Bradley 2004, 25). Посочвайки, че тези „скитащи прилагателни" могат да се превръщат в съществителни, Ръсел фрустрира наглед непоклатимото разграничение между реалността и идеалното съдържание, които в контекста на съждението играят ролята съответно на субект и предикат. Тематизирайки обстоятелството, че предикатите могат да бъдат субекти, Ръсел се оказва в позиция да разглежда самореференциални конструкции (в които субектът и предикатът съвпадат) и така се озовава само на крачка от парадокса в неговата предикатна версия. Поразителното в случая е, че макар да достига до своето противоречие по повод на критиката на монистичната метафизика на Брадли, един от предложените от самия него начини за отстраняването му е съвсем в духа на неговата философия: „Трябва да отбележим, че според предложената тук теория за пропозиционалните функции, f в fx не е отделен и различим обект, тя живее в пропозициите от вида fx и не може да оцелее след анализа им. Силно се съмнявам, че подобно разбиране може да ни отведе до противоречие, но изглежда то ни се налага, тъй като ни позволява да избегнем противоречието, което се получава в резултат от отрицанието му: Ако f беше обособим обект, то би имало пропозиция, в която f се утвърждава за себе си, която можем да означим с f(f), би имало също и пропозиция not-f(f)" (Russell 1937, 88).

§3.Съществува и трети път, по който можем да поемем в търсенето на отговор как се е появил парадокса на Ръсел. Както е известно, в периода от октомври 1900 до февруари 1901 година, (тоест, тъкмо по времето, когато предполагаме, че е формулиран парадокса) Ръсел работи върху ръкописа на своята статия за релациите, която е вдъхновена от срещата му с Пеано в Париж, която по собствените му думи преобръща целия му светоглед. Това обстоятелство придобива особено голямо значение във връзка с факта, че в Принципи е формулирана релационна версия на парадокса и е показано как предикатната може да се получи от нея като частен случай: „Сходен резултат, който обаче не води до противоречие, може да бъде доказан по отношение на всяка релация. Нека R бъде такава релация и да разгледаме класа w от всички термове, които не се намират в релацията R със самите себе си. Тогава би било невъзможно да има такъв терм a, към който всички те и никой друг да има релацията R. Защото, ако би имало такъв терм, то пропозиционалната функция "х не се намира в релацията R към х" би била еквивалентна на пропозиционалната функция "x се намира в релацията R към а". Замествайки а с х, което е допустимо, тъй като горната еквивалентност е формална, ще получим противоречие. Когато на мястото на релацията R поставим Î, релацията на терм към понятие за клас, което може да бъде утвърдено за него, ще получим горното противоречие" (Russell 1937, 102). Как Ръсел е достигнал до релационната разновидност на своя парадокс? Един от възможните отговори на този въпрос е направо шокиращ - благодарение на своето старателно забравено хегелианско минало (в тази връзка виж началото на частта за парадокса на Ръсел в Sorensen 2003)! Връзката с миналото осигурява бившия ментор на Ръсел - Мактагарт, който през 1910 година публикува своя „Коментар към Хегеловата логика". В предговора на книгата Мактагарт благодари на своя бивш ученик за полезните му бележки към изложението в трета глава; това еднозначно показва, че Ръсел е бил запознат с него. Нещо повече, тъй като текста, включен в обема на книгата, е писан основно в периода 1899-1904 година (а вероятно е бил замислен още по-рано), той би могъл да окаже влияние върху писането на Принципи и, съответно, върху откриването на парадокса на Ръсел. По-нататък, във втората глава на разглеждания текст се срещаме със следния прелюбопитен пасаж, който представлява интерпретация на Хегеловото разбиране за отношението между категориите „сходство" и „различие": „Да вземем произволна група от неща, M, N, O, която е по-малка от целия универсум. Тогава едно или повече неща извън тази група. Ако наречем едно от тях Z, то ще бъде ясно, че всеки елемент на групата M, N, O ще има свойството да се различава от Z ... Тъкмо това съставлява сходството между тях" (McTaggart 1910, 110). Това твърдение представлява достатъчно адекватна експликация на Хегеловата теза от „Науката логика", която според английския превод на Уолъс гласи, че „сходството е тъждество само за онези неща, които не са едни и същи, или са нетъждествени едно с друго, а по същия начин несходството свързва нещата, които са несходни" (Hegel 1874, 188). След това, обаче, Мактагарт продължава (в наглед незначителна бележка под линия): „За всички неща във вселената можем да кажем, че са сходни в този смисъл на думата, защото за тях може да се каже, че са неща, освен всички останали твърдения, които са вярни за всяко от тях" (ibid). Нека означим релацията „различие" с R. Тогава за М, както и за всеки друг елемент на групата M, N, O, ... ще бъде в сила следното: Ø(M R M) =_DF (M R Z) (т.е., M се схожда със самото себе си, доколкото се различава от Z). Но, според горното уточнение, за всяко нещо в света може да бъде предицирано сходство в същия смисъл, или за дадено Z, ("Х)[ Ø(X R X) =_DF (X R Z)]. Оттук, тъй като Z също би трябвало да бъде „нещо", замествайки в горното получаваме Ø(Z R Z) º (Z R Z), или не друго, а релационната версия на парадокса на Ръсел. Това показва, че наистина Хегеловата диалектика може да ни поведе по път, извеждащ до парадокса на Ръсел. Възможни са, обаче, още много други начини, по които можем да достигнем Ръселовата антиномия в диалектически контекст. За да покажа, че това наистина е така, ще разгледам друга модификация на релационната версия на парадокса, която е формулирана в приложението на Принципи: „Да разгледаме пропозиционалната функция "R и S са тъждествени релации и релацията R не е налице между R и S". Тук имаме две променливи, R и S; нека допуснем, горното е еквивалентно на "R се намира в релацията T към S". Замествайки Т на местата на R и S, ще открием, че тъй като Т е тъждествена на Т, "Т не се намира в релацията Т към Т" е еквивалентно на "Т се намира в релацията Т към Т"" (Russell 1937, 521). Тук самите относими са отношения, а не обекти, както беше по-горе. Въпросът за отношението между различните отношения има дълъг стаж в историята на философията, той е поставен още от Платон, който в своя „Парменид" се пита дали тъждеството се различава от различието, след като различните неща са тъждествени в това, че се различават едно от друго (Plato 1997, 147e-148c). Всъщност, ако в горното заместим R и S, съответно с „тъждество" и „различие", ще получим експликация на Платоновото парадоксално заключение: тъждеството е тъждествено на различието, доколкото тъждеството не се различава от различието. Този факт не може да бъде пренебрегнат, тъй като темата за самоприложимите предикати се появява в Принципи по повод тъкмо на Платоновия „Софист" (Russell 1937, 73). Това показва, че имаме основания да се опитаме да проследим концептуалните основания и на тази версия на парадокса на Ръсел до самите извори на диалектиката, в случая, до Платоновото учение за отношенията между вечните идеи.

***

До този момент разгледахме три версии на парадокса на Ръсел (теоретико-множествена, предикатна и релационна) и ги съотнесохме с три напълно различни идейни контекста (съответно, Канторовата теория на множествата, радикалния монизъм на Брадли и диалектиката на Хегел и Платон). Затова, обръщайки поглед назад виждаме, че въпроса „Как Ръсел открива своя парадокс?" няма и не може да има еднозначен отговор, тъй като до него отвеждат три различни, но все пак взаимно преплитащи се, понятийни „пътя". Според мен, в тази връзка с достатъчна убеденост може да бъде казано само следното: Ръсел греши, когато твърди, че откритото от него противоречие няма нищо общо с философията, а само със здравия разум. Наистина, всеки човек, разполагащ със здрав разум, би могъл да вникне в същността на неговия парадокс; много хора с достатъчно въображение в добавка биха могли да го открият, но само интересуващ се от теория на множествата критик на монистичната метафизика, който същевременно е вещ в диалектическите методи на Платон и Хегел, неизбежно би стигнал до него, тъй като всички различни нишки, отвеждащи до това противоречие, биха били в ръцете му. Това показва, колко неуместна е изобретената от самия Ръсел идеология, според която логиката се дели на две взаимно независими и никъде непресичащи се части - „философска" и „математическа". Наистина, парадоксът на Ръсел е едно от най-великите открития в историята на математическата логика, но никога нямаше да ни бъде известен, ако един философски логик не беше се заинтересувал от концептуалните основи на съвременната математика. Неговият magnum opus, Principia Mathematica, дори и днес, сто години след неговото публикуване, е убедително доказателство за това, че математиката има философско значение, а философията - математически употреби.

 

Anellis, I.2008. The First Russell Paradox. In: Drucker, Th. Perspectives on the history of mathematical logic. Boston: Birkhäuser.

Bradley, F. H. 2004. The general nature of judgement. In: Writings on Logic and Metaphysics. Oxford: Clarendon Press.

Bunn, R. 2000. Developments in the foundations of mathematics, 1870-1910. In: Grattan-Guinness, I. (ed.) From the Calculus to Set Theory, 1630 - 1910. Princeton: Princeton University Press.

Grattan-Guinness, I. 2000. The Search for Mathematical Roots. New Jersey: Princeton University Press.

Griffin, N. 2004. The prehistory of Russell's paradox. In: Link, G. (ed.) One hundred years of Russell's paradox. Berlin: Walter de Gruyter.

Hegel, G. W. F. 1874. The Logic of Hegel, translated by W. Wallace. London: MacMillan and Co.

Mancosu, P. et al. 2009. The Development of Mathematical Logic from Russell to Tarski, 1900-1935. In: Haaparanta, L. (ed.) The Development of Modern Logic. New York: Oxford University Press.

McTaggart, J. 1910. A commentary on Hegel's Logic. London: Cambridge University Press.

Plato, Complete Works. 1997. Indianapolis: Hackett Publishing Company.

Russell, B. 1975. My Philosophical Development. London: George Allen and Unwin.

Russell, B. 1967a. Autobiography, 1872-1914. Boston: Little, Brown and Co.

Russell, B. 1967b. Letter to Frege. In: Heijenoort, J. van. From Frege to Gödel. A source book in mathematical logic, 1879-1931. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Russell, B. 1937. The Principles of Mathematics, second ed. New York: W. W. Norton and Company.

Russell, B. 1920. Introduction to mathematical philosophy, second ed. London: George Allen & Unwin.

Sorensen, R. 2003. A brief history of the paradox. Philosophy and the labyrinths of the mind. New York: Oxford University Press.

 

Д-р Росен Люцканов е н.с. I ст. в Института за философски изследвания при БАН