Хипотезата за континуума на Кантор и нейното трансфинитно обосноваване

Д-р Силвия Кръстева

Югозападен университет „Неофит Рилски"

silvia_kristeva@mail.orbitel.bg

Cantor's Continuum Hypothesis and its Transfinite Grounding

Dr. SilviyaKristeva

South-WestUniversity "NeofitRilski"

Георг Кантор създава първата завършена теория на безкрайните множества и въвежда първите безкрайни числа, наречени от него трансфинитни. Трансфинитните числа са числа за операции върху безкрайни множества, по-специално Кантор изследва множеството на реалните числа R, дефинирано като множество на дробните рационални и ирационални числа и дали то може да бъде изброимо, да се представи броят на участващите в него числа. Кантор въвежда отношения, основани на еквивалентност, между крайни и безкрайни множества и успява да докаже, че множеството на естествените числа e изброимо, т.е. може да се въведе ново число за броя на неговите елементи, това ново число е първото трансфинитно число. Както и успява да докаже, че множеството на реалните числа не може да се изброи. Дали обаче не може да се въведе следващо, второ, трансфинитно число, което тъкмо ще даде изброяването на множеството на реалните числа, Кантор предлага неговото извеждане, но и до днес това подлежи на доказване и развитие и е известно като Хипотеза за континуума, за континуума на реалните числа. Кантор въвежда и демонстрира два типа безкрайни множества: изброими и неизброими, с което и дава първоначалния базис на теорията на множествата в математиката.

Генералният поглед върху цялото на множеството поставя въпроса за собствения брой на неговите елементи. Това е най-важният пункт в новата теория на безкрайните множества на Кантор. Той го описва като „общото понятие, чрез действителната способност на мисленето, което произлиза от множеството М, когато ние се абстрахираме от природата на неговите различни елементи m и от реда, по който те са дадени“, „всяко m става „единица“ и така се получава едно ново множество, съставено от единици“ – те конституират един брой, за Кантор „това число има своето съществуване в нашия ум като интелектуален образ или проекция на даденото множество М“ (Cantor 1915: 86). Именно това общо понятие, съответстващо на една определена обща проекция на цялото множество и на едно определено число (и количество) на неговите елементи, Кантор нарича „мощност“ на едно множество или още негово „кардинално число“. Постановява, че „Всяко множество М има определена „мощност“ (Cantor 1915: 86). Въвеждането на свойството мощност на множеството е от изключително значение, от тази теорема следва, че дори и безкрайните множества трябва да имат своя мощност и оттам и свое кардинално число. Въпросът е как то може да се получи, как безкрайното множество може да бъде изброено и какви операции ще могат да се правят с него.

С въвеждането на кардиналното число на едно множество като общия брой елементи, съдържащи се в него, ще имаме с описанието на Ян Стюарт, „една неопределена съвкупност от „контейнери“ (placeholders), които са отличими“ (Stewart 2009: 60), като чистата решетка от места, в която се удържа самото множество. Оттук всеки един елемент може да получи свое определено „място“ и то да има и свой пореден номер, или точни координати на своя контейнер. Когато отчетем броя на попълнените кутийки, ще имаме кардиналното число на съответното множество.

Но елементите на крайните множества лесно могат да се изброят. Как стоят нещата при безкрайните множества и особено при множествата, извлечени върху безкрайните с 1:1 съответствие: на всеки елемент от едното да съответства точно един елемент от другото. Точно това съответствие ще се окаже решаващо при определянето на кардиналното число на безкрайните множества. Но първо трябва да се въведе понятието изброимост на едно множество, защото то засяга самата възможност да определяме кардиналността на едно множество, каквото и да е то по броя на елементите си. Изброимостта е величина, представена като „списък (list)“, който трябва да се създаде и да включи всеки един елемент и да отчете неговата точна позиция: за едно множество „неговите елементи могат да бъдат сложени в един списък (списък с начало, където всеки един елемент от списъка освен първия има свой единствен предшественик)“ (Open Logic Text 2017: 34). Точно това са и условията за съставянето на списъка: той трябва да започва с точно определено число, в случая на естествените числа с единица, всяко число след първото получава точно една „крайна позиция“ (Open Logic Text 2017: 35) и се намира на точно отстояние в позиции от първия елемент. В изброяването се включват всички елементи от множеството, като заемат една определена позиция в списъка. Ако обаче списъкът не може да включи всички елементи в определени позиции и извън конкретното изброяване, съставяне на списъка остават още възможности и елементи, то множеството ще е неизброимо. Накрая, за да имаме като изброимо едно безкрайно множество, просто трябва да можем да съставим списък по гореописания начин и да можем да приемем, че „самият този списък е безкраен“ (Open Logic Text 2017: 34), ще може да продължим да го съставяме до безкрайност. Ето как става ясно, че можем да направим такова изброяване на множеството на естествените числа, като не спираме до едно определено число в редицата, а продължаваме до безкрайност. Оказва се, тогава, че множеството на естествените числа N, на целите положителни числа е изброимо. И какво следва от това – радикално новото приемане на Кантор: че тогава множеството на естествените числа трябва да има безкрайно кардинално число!

Кантор не спира дотук, дефинира безкрайна серия от първите трансфинитни числа и то като „добре-наредено множество, което означава, че те са наредени по техния „ранг“ (Cantor 1915: 110), т.е. всяко следващо число е по-голямо от предходното. Тогава според него възниква възможността на едно ново изследване на трансфинитните числа, вече като „ординални числа“, т.е. наредени по ранг, от по-малко към по-голямо (или обратно). Оттук Кантор ще извежда възможностите на ново трансфинитно число, което вече съответства на определена подредба на числата и така е трансфинитно ординално число. Кантор въвежда „ординален тип“ на едно множество, което изрично е „добре-наредено“, елементите са подредени в релацията или . Към добрата наредба на едно множество принадлежи и формулираната от Кантор негова „наситеност (dense)“: „свойството, че между всеки два негови елемента лежи друг“ (Cantor 1915: 123), както ще видим това се демонстрира и като основен механизъм за постигане на непрекъснатостта на континуума c.

Кантор формулира Хипотезата за континуума в съизмерването на точките върху правата линия и числата от познатите числови множества, чрез която да се постигне нейната непрекъснатост и наситеност. И това съответствие ще е много интересно да бъде изцяло проследено и развито, но не откъм възможностите и наситеността на познатите числови множества, а тъкмо трансфинитно – от страната на безкрайните множества. Така можем да осъществим задачата, формулирана най-общо от Стюарт: от две хиляди години „се води битка“ „актуално съществуващото обединение от безкрайно много неща да стане част от философските и математическите разсъждения“ (Stewart 2009: 54). Безкрайното и непрекъснато насищане на точките върху правата трябва да може да се разгърне в редове от нови и нови безкрайни множества, които все по-плътно и по точен принцип да реализират тази непрекъснатост. Това е и проблемът, който Дедекинд формулира: „домейнът на числата да придобие същата пълнота или, можем да кажем веднага, същата непрекъснатост като правата линия“ (Dedekind 2007a: 4). Според Дедекинд решението е проектирането на ирационалните числа, като „инструмент“ (Dedekind 2007a: 4) за „разширение“ на този домейн, и то спрямо нанесените върху него рационални числа: „прекъснатият домейн на рационалните числа да стане непрекъснат домейн“ (Dedekind 2007a: 6). Още Дедекинд отчетливо формулира и възможността за едно такова разширение: връзката по съответствие между рационалните числа и ирационалните числа, като връзка по съотношение между техните множества. Точно тази връзка ще подложим на изследване и разгръщане, за да се извлекат възможностите на числовите множества да насищат линеарния континуум c, но и да се генерират едно друго.

Това ще се опитаме да изведем и като път да стигаме до безкрайните множества. Защото едва ли цялата мощност на линеарния континуум ще се „затвори“ до едно последно множество, и то спрегнато върху основата на N – безкрайното множество на естествените числа. Затова задачата в трансфинитното обосноваване на Хипотезата за континуума виждаме в извличане на пътя и възможностите „да получим по-висока и още по-висока мощност на безкрайността“ (Allen 2017: 16), в което е и самата й „актуална същност“. Тъкмо един такъв подход би набелязал посоката за поставяне на формулирания от Кантор въпрос: „въпросът е за по-високите кардинални числа и как те произлизат от “ (чете се „Алеф-нула“) (Cantor 1915: 109) – от неговото първо и най-малко безкрайно кардинално число. Защото би трябвало да има математически и логически механизъм да се постигнат, обосноват и извлекат редовете трансфинитни числа. Но не в постоянното свеждане до континуума като наситен от естествените числа, дори и тук да работи изброимия принцип на 1:1 съответствието с тях. Защото така се загубва самият принцип на насищане на безкрайните множества върху линеарния континуум c. По този начин няма как да се овладее вътрешната мощност и насищане на безкрайните множества. И да се структурира самото генериране на безкрайните множества върху континуума c. Защото, ако поставим така проблема и овладеем точното съответствие на едно безкрайно множество с континуума c, може да го фиксираме и дефинираме, но и структурираме, чрез неговата измеримост върху континуума c. Тогава ще поставим въпроса и за извличане на пълната мощност на едно безкрайно множество в съотношение спрямо континуума, т.е. как това множество решава проблема за постигане на пълната наситеност и непрекъснатост на континуума, съответно и кои са неговите граници в това насищане, граници, които да продуцират отварянето на едно ново, по-горно и по мощност, и по измерност безкрайно множество. Засега въвеждаме това съотношение по пълно насищане спрямо вътрешната пълна мощност на едно безкрайно множество с неговото отнасяне към – базисът на трансфинитните числа. В тази перспектива печелим 1. възможността да проследим и извлечем разгръщането на трансфинитните числа, 2. да поставим интересния проблем за измерността на едно безкрайно множество спрямо континуума c, да добием неговата „мярка на измерност“. И така в крайна сметка: 3. да поставим въпроса за размера и за изброимостта на едно множество в чисто отношение към самата безкрайност и към трансфинитните числа, а не спрямо множеството на естествените крайни числа. От тази гледна точка ще се отвори и проблемът за „добрата наредба“ на безкрайните множества, както Стюарт посочва: „Кантор твърдо вярвал, че множеството на реалните числа може да бъде добре наредено“ (Stewart 2009: 64), а това значи и да се намери начин всяко безкрайно множество да добива своя изброимост, и по-точно за нас да се намери начин тя да бъде добита.

 

1. Дефиниции

1.1. За кардиналното число на континуума c

Всъщност Хипотезата за континуума се опира върху самото кардинално число на континуума c. Тя търси начини то да бъде изразено. И това е основното откритие и базисно въвеждане в теорията на трансфинитните числа на Кантор. Първи инструмент за овладяване на континуума c е множеството на естествените числа N – безкрайно съставено от положителни цели числа, оразмерени с определена единица, пауза между тях, както Дедекинд уточнява, в основата на числовите множества е „броенето“ (Dedekind 2007b: 14). Това множество N овладява пълнотата на континуума по безкрайно нарастване и така трябва да стане основа за неговото измерване. Всяко друго множество, което навлиза към оставащата между естествените числа гъстота от точки, трябва да се съизмерва с N, множеството на естествените числа, също така и последното изведено и най-богато по наситеност множество на реалните числа R: „Всяко множество от точки върху линията може да бъде сложено в 1:1 съответствие с естествените числа или с реалните числа“ (Allen 2017: 15). Тогава и най-богатото и интензивно наситено множество може да се сведе в някакво съответствие с простото безкрайно множество N върху линеарния континуум: „за изучаването на общите безкрайни множества на правата от по-високи измерения е достатъчно изучаването на линеарните множества, които са безкрайни подмножества на реалните числа“ (Stewart 2009: 59). Според Кантор това съответствие трябва да е 1:1 съответствието с множеството N, което е изброимо и така съпоставените множества ще бъдат изброими, пак докъдето това е възможно, тъй като вече множеството на ирационалните числа I и множеството на реалните числа R не могат да влязат в такова 1:1 съответствие с N. Тогава всъщност само Q, множеството на рационалните числа, влиза в 1:1 съответствие с N и следователно е изброимо. Точно тук обаче възниква следният проблем – ако I и R не се поддават на 1:1 съответствие с N, то те могат да влязат в някакво друго, тъкмо степенно отношение с него и оттук да се намери тяхната „мярка на измерност“. И то, както по-горе е изтъкнат проблемът, за обхващането на „по-високите измерения“ върху континуума. Което означава, че всъщност може да се постави общо проблемът за множествата по измерност спрямо линеарния континуум c. А по общата зависимост, изведена от Кантор, всяко безкрайно множество от ново измерение трябва да се свежда до мощността на континуума c, но във все по-плътното й насищане. Тогава можем да погледнем на Хипотезата за континуума не от страна на N, а от противоположната страна: на разгъването на все по-високите измерения. Ще получим тази зависимост спрямо кардиналността на континуума с оглед на генерирането на безкрайни множества с все по-високо кардинално число и то такова, че е в точна зависимост спрямо кардиналното число на континуума c. Възниква въпросът за извличане на множества с по-високи измерения, а така и с по-висока, очевидно нарастваща мярка на измерност.

Оформя се и още една ярко изразена зависимост, открита и потвърдена от Кантор – простите линеарни множества са „същинско подмножество на реалните числа“. Т.е. и N, и Q са подмножества на R, което тогава потвърждава и нарастването на мярката на измерност, тъй като се отива към все по-големи по размер множества. Но това трябва да е точното тяхно генериране, тъй като ще се търси все по-плътното и непрекъснато насищане на континуума c. Тогава тези множества са вложени едно в друго тъкмо с определена мярка, с определена степен, тъкмо което дава отиването към следващото по-високо множество.

Кантор формулира Хипотезата за континуума върху възможността за изброяването на N и това е безкрайното кардинално число на множеството на всички крайни кардинални числа – : „кардиналното число на всяко безкрайно множество ще бъде равно или по-голямо от “ (Stewart 2009: 62); „Първият пример за трансфинитно множество е даден от тоталността на крайните кардинални числа ν“ (Cantor 1915: 103). е така първата и базисна мярка за измеримост, в неговата извличане върху най-простото безкрайно множество, обхващащо самото N в неговата тоталност. Но това трябва да бъде базиса, който трябва да участва в генерирането оттук на всяко множество с по-голямо измерение и тогава наистина чрез ще трябва да можем да добием мярката на измерност на следващите безкрайни множества, а това потвърждава тезата на Кантор, че „Всяко кардинално число е Алеф“ (Stewart 2009: 64), т.е. в него участва първоначалната, базисна мярка на измерност . Затова и Хипотезата за континуума се разгръща към поне следващото безкрайно кардинално число и към следващото по измерение безкрайно множество: е „точно следващото най-голямо кардинално число след “ (Stewart 2009: 62), неговата стойност според Кантор е

 

 

или

 

.

 

Според Кантор отново изразява „мощността на линеарния континуум Х“ (Cantor 1915: 96), за изразяване на кардиналното число използваме ограждане с по две вертикални черти:

 

„ “ .

 

На първо място в тази формулировка се установява степенуване тъкмо чрез , което означава, че имаме кардинално степенуване, тъкмо чрез най-малкото трансфинитно число . Но защо в тази формулировка това друго множество се репрезентира чрез „2“ – какво означава тук това число?

Може би това е ключов момент в самата формулировка на Хипотезата за континуума, който обаче трябва да отключи и отговора на въпроса какво точно число е , какво отчита в степенуването тук и в степенуването спрямо континуума и, разбира се, как от тази формула и от самото ще се получи следващото трансфинитно число , а после и и т.н. Което води и до генералната формулировка на Хипотезата за континуума, а това е всъщност принцип и формула за получаване на реда на Алефите, като трансфинитните числа от някакъв порядък и в определено отношение спрямо мощността и кардиналното число на континуума c.

Ще предложим едно обосноваване и ред на генерирането на Алефите, които отстъпват малко по-назад – към въведения от Дедекинд „срез“ на линеарния континуум, в който може да се открие основността на прилагането на принципа за непрекъснатост на континуума c и оттам да се обоснове мярката на измерност, тъкмо което да се окаже множеството, степенувано с . За това, обаче, ще въведем един „срез“ на континуума, който осъществява и Кантор.

 

1.2. Дедекиндов и Канторов „срез“ на континуума c

Дедекинд въвежда принципа на среза, за да се осигури непрекъснатостта на линеарния континуум. Чрез среза, осигурен от точката на едно определено число, целият континуум се разделя в 2 класа, които се свързват тъкмо през точката на дадено число: „Ако а е определено число, тогава всички числа от системата R падат в два класа: А₁ и А₂, всеки от които съдържа безкрайно много индивиди“ (Dedekind 2007a: 3), „системата R формира добре нареден домейн от едно измерение , продължаващо до безкрайност в двете противоположни посоки“ (Dedekind 2007a: 2). Двата класа така вече артикулират целия континуум c и то като отнесен към определено число а. Непрекъснатостта тук се осъществява чрез продуциране на два класа върху целия континуум c, те са така негова проста сума. С това е въведен базисният механизъм за точно подразделяне на c на 2 върху едно определено число. Ще отбележим тук, че Дедекинд изрично подчертава това просто „пресмятане“ на континуума c чрез едно число като работещо върху едно-измерността на домейна на линеарното множество. Континуумът c е срязан в два прости класа, все пак всеки от които е безкраен. Това означава, че може да се работи върху среза на континуума c, за да се стигне до неговата измерност. Тогава трябва да се намери такова число, което да осигури самата измерност, т.е. безкрайното насищане на получените два класа, а оттук и защо да не се въведат възможности за n на брой класове. Ще допълним среза на Дедекинд и с неговото демонстриране, че рационалните числа всъщност осигуряват непрекъснатост чрез онези числа, които се намират „между тях“ и това са ирационалните числа: „Всяко рационално число продуцира един срез (Schnit) или, стриктно говорейки два среза“ (Dedekind 2007a: 6). Така всяко рационално число осигурява вече два среза (А₁, А₂) и (В₁, В₂) в отношение помежду си, които отново са два класа, но вече в отношение към α – едно ирационално число, „напълно дефинирано от този срез“ (Dedekind 2007a: 6). Дедекинд проектира „възможността за безкрайно много срезове, непродуцирани от рационалните числа“ (Dedekind 2007a: 6). С което наситеността на континуума може да бъде продуцирана с нови и нови срезове и нови съотношения между формираните числа, които стават граница за своята наситеност, но в отношението си отварят нови нива на насищане върху континуума. Така най-простото, основно и първоначално полагане на непрекъснатостта се осъществява чрез разделяне на 2 на континуума c. Като Дедекинд установява зависимост в продуцирането от рационалните числа към ирационалните числа, според него генерирано чрез образуването на ирационалните числа и тяхната степен на насищане на континуума c, като важният резултат на Дедекинд е, че континуума c започва да се оформя като непрекъснат тъкмо с продуцирането на ирационалните числа.

Кантор осъществява срез по Дедекинд в точно две множества, за да получи тъкмо мощността и кардиналното число на c, но това са вече две различно продуцирани множества и по своята точка на срез, и по типа на безкрайността си. На първо място той вижда своя срез като продуциращ „тоталността на Х, на реалните числа х“ (Cantor 1915: 96). Тогава по Дедекинд този срез трябва да включва и множеството на ирационалните числа I. То трябва да е едно от двете продуцирани от среза множества. А другото тогава трябва да е множеството на естествените числа и респективно на рационалните числа. Това е ясно формулирано от Кантор неведнъж в Приноси…: „х, такова че х и 1“ (Cantor 1915: 96). Имаме множеството на числата от 0 до 1 и множеството на числата N, по-големи от 1. Едното множество е множеството на безкрайното намаляване, а другото е множеството на безкрайното нарастване (Jourdain 1915: 78). Едното множество е безкрайната редица на естествените числа и на насищане на техните интервали с рационалните числа. А другото е множеството на „затворения интервал“ {0; 1} (Stewart 2009: 59). Т.е. тук Кантор е „срязал“ континуума по цялата му мощност, по цялата му дължина, а не както при Дедекинд спрямо едно число. Затова и срезът продуцира съотношение на две вече оформени безкрайности, всяка в своята отделна тоталност. Това е и нова мярка на континуума – вече „c. c“ (Cantor 1915: 97), а не простата му сума, отброяване на c. Като отново „ν-измерният и -измерният континуум имат мощността на едно-измерния континуум“ (Cantor 1915: 97). Затова и безкрайността е всъщност в две измерения, в мярката на генерираните точно две безкрайни множества, които осигуряват тоталното спрягане и насищане на континуума c. Нека отбележим – вече едно отношение на „затворения интервал“ към безкрайното множество от непрекъснати и вътрешно сближени в своето междинно пространство точки, като доказаната наситеност на всеки интервал на реалните числа: „всеки интервал от реалните числа съдържа безкрайно много трансцендентални числа“ (Stewart 2009: 58), и така на интервала към непрекъснатото пространство от точки.

Ако сега, последно, разгледаме среза на Кантор, той се осъществява по тоталността на ν, тоталността на крайните кардинални числа: и като ν-измерност и като -измерност: това е отношение на повдигане спрямо целия континуум c чpез базисното трансфинитно число – безкрайното кардинално число на ||ν|| (Cantor 1915: 103). Или двете безкрайни множества са получени чрез , тяхното същинско кардинално число на съответствие със c е мярката на измерността им, повдигната на степен : , което дава кардиналното число на континуума c, тъй като чрез среза е осигурило неговата непрекъснатост. И това е необходимо, тъй като само безкрайно число може да осигури срез, който работи с цялата мощ на континуума. Затова и повдигането на степен я осигурява, за да можем да изравним мярката на среза с кардиналното число на континуума. Така наистина кардиналното число на c е изразимо чрез Алеф, както дефинира Кантор „всяко кардинално число е Алеф“ (Stewart 2009: 64) и в движението към измерността на континуума c само и единствено чрез Алеф, в началната степен или измерение – тъкмо чрез . Потвърдена е формулата на Кантор, но с това се разкрива още по-мащабна зависимост върху кардиналността на континуума c.

Формира се обща зависимост по насищане на континуума c, с която да се продуцират точно неговите възходящи измерения, т.е. степените на неговото насищане. Основна роля тук има – кардиналното число на самия срез на континуума, с което се покрива самото число, което дава мярката на измерността на продуцираните множества, във все по-плътно насищане на континуума c.

Нека проследим тази зависимост спрямо мярката на измерност на познатите числови множества спрямо мощността на континуума c.

 

2. Измерност на числовите множества

Открилата се зависимост постулира определено отношение на влагане между числовите множества: N, Q, I и R. На първо място веднага прилагаме основното демонстрирано отношение: „естествените числа са същинско подмножество на реалните числа“ (Stewart 2009: 60). Същевременно Дедекинд демонстрира и същата зависимост между Q и I – Q е същинско подмножество на I, върху непрекъснатостта на континуума c. Тогава трябва да има това отношение между четирите познати числови множества и то стриктно върху тяхното овладяване и изпълване на кардиналността на континуума c. Така ще имаме: . R е най-богатото и най-мощно познато числово множество, то обхваща в себе си и рационалните, и ирационалните числа. И тъй като „всяко подмножество има своята функция на получаване“ (Stewart 2009: 61) от своето множество, то, обратното, ако го вземем за начално, тази функция ще продуцира от него неговото множество. Приемаме аксиомата, че една и съща функция трябва да работи при всичките тези вложени множества и да ги продуцира всяко следващо от предходното: N → Q → I → R. Това е именно тяхната мярка на измерност спрямо континуума c, още повече, че тези множества са близко до простото първоначално базисно множество – множеството на естествените числа N. И трябва да бъдат получени върху него с една и съща функция, която да осигури и техния възходящ ред на измерност.

Доказателство за това е равенството на техните кардинални числа с кардиналното число на континуума c, което и Кантор доказва в свеждането на всички по-високо измерни множества до кардиналното число на континуума c. Но това демонстрира и противоположното отношение: всяко едно от тях се разгъва по своята мярка на измерност и, следователно, се отнася с подобна проекция спрямо своето предходно и спрямо своето следващо. Това отваря потенциал за истинска пълнота и непрекъснатост на континуума c, тъй като границите на съответното множество се превръщат в нови полета за насищане спрямо следващото.

Нека разгърнем Канторовото положение за измерността на континуума c, като въведем самата измерност в геометричните съотношения на измерност: „точките от една равнина да се поставят в 1:1 съответствие с точките на една линия и, по-генерално, точките на едно пространство от произволно високо измерение да бъдат въведени в такова съответствие“ (Stewart 2009: 58). Очертава се познатото геометрично съотношение на първите и базисни измерения: точка, линия, равнина, тяло…, трябва да следват пространства от все по-високи измерения. Това дава и връзката между множествата на числата и геометричните измерения, като развива в измерността първоначално дадения като линеарен континуум c. Но за да изведем неговото същинско насищане, трябва да отпуснем измеренията в тяхната все по-многомерна проекция.

Съотношението, което Кантор открива между кардиналното число на континуума c и първите измерения, е по степенуването на континуума: „Канторовият резултат е, че равнината има същата кардиналност като линията: c . c = c, тъй като равнината може да бъде мислена като Картезиански продукт на линията със себе си“ (Stewart 2009: 61). Тогава можем да формулираме това степенуване на c, или продължаващо умножение на предходната кардиналност на c с още един път неговото кардинално число. И ако вземем истинският резултат тук, ще имаме, че за разлика от линията, която има чистата кардиналност на континуума c, равнината е вече c . c = c². Тогава пространството, следващото измерение по c, ще има кардиналност: c . c . c = c³. Или всяко ново измерение увеличава с 1 същинската мярка на измерност на предходното измерение. Ще имаме:

 

c⁰ – точката или мярка на измерност 0;

c¹ – линията или мярка на измерност 1;

c² – равнината или мярка на измерност 2;

c³ – пространството или мярка на измерност 3;

…

cⁿ – n-измерение с мярка на измерност n.

 

Нека анализираме това издигане в измеренията: реално измерение се появява при линията с точното кардинално число на континуума. Но оттук имаме степенуване на измерността – с ново и ново умножение с кардиналното число на континуума.

Ако сега успоредим познатите числови базисни множества с базисните измерения на континуума c, ще получим следните техни мерки на измерност:

 

c⁰ – N с мярка на измерност 0;

c¹ – Q с мярка на измерност 1;

c² – I с мярка на измерност 2;

c³ – R с мярка на измерност 3.

 

Тогава можем да изразим тяхното кардинално число с кардиналното число на континуума, приведено към мярката им на измерност:

N – e просто самият прострян континуум, без да може да се даде неговото завършено число: като една тоталност;

 

Q с мярка на измерност 1,

||Q|| = c;

 

I с мярка на измерност 2,

||I|| = c²;

 

R с мярка на измерност 3,

||R|| = c³.

 

Тогава се оформя и тяхното съотношение, чрез което всяко се продуцира като същинско множество на следващото:

 

N и Q са наистина в 1:1 съответствие, и това е самото просто кардинално число на континуума.

I е вече равно на c², или I = Q . Q.

А R излиза спрямо Q и спрямо I в позицията на множеството с мярка на измерност 3:

 

R = c³ = I . Q = Q . Q . Q.

 

В този резултат се потвърждава и дефиницията на Кантор, че „Всяко реално число може да бъде дефинирано чрез една редица от рационални числа, конвертирани до него“ (Stewart 2009: 57), което отдава особена функция на рационалните числа, на тяхното множество и на неговото кардинално число в Хипотезата за континуума.

Кантор извежда в своята формула (вж. Allen 2017: 17) R като множество върху мярка на измерност 2. В горните зависимости получената мярка на измерност на I съответства на мярката на измерност на R спрямо Канторовото извеждане. Което трябва да отреди на R едно по-високо място във възходящата редица на базисните измерения. И ще се отрази на общата формулировка на Хипотезата за континуума. Тъй като така тя трябва да бъде предназначена да отразява всяко едно ниво на измерение на числови множества, а не само да бъде мярката за измерност 2. Формулата трябва да обхване устойчивото извеждане на все по-високо измерение и така да даде възможност тези измерения да могат да се генерират. С това пред нас се изправя цялата кардинална мощ на континуума c, в пълната му непрекъснатост. И очевидно, неговата измерност отива към все по-горен ред числа, които не могат да бъдат други освен трансфинитни, тъй като те са образувани върху основата на кардиналното число на континуума c.

Въпросът е как да се изрази тази степенуваност на числовите множества и какви възможности ще даде това за самата формулировка на Хипотезата за континуума, а оттук и за извличането на самото число и за по-високите редове на трансфинитните числа.

 

3. Формула на Хипотезата за континуума

3.1. Формула на кардиналността

Тук се открива възможност, която трябва да проследим докрай – чрез степенуването да се изразят числовите множества върху кардиналното число на континуума c. Ще дефинираме това насищане като покриване с на общата числова променлива на съответното множество. Така в основата тук е прокарването на среза на Дедекинд и Кантор, но с параметрите на Кантор – върху спрягането с базисното безкрайно число . Всяко следващо множество се получава от предходното със следващо покриване с . Това съответства и на вдигането на мярката на измерността – като умножение на континуума със себе си. Кантор го дефинира като „продължаващо умножаване със c“ (Cantor 1915: 97). И ще се отрази вече като продуциране и нарастване на трансфинитните числа. Те така започват там, където се осъществява първото степенуване с още едно , или където за пръв път континуума се умножава по себе си. За да се продуцират нови и нови степени на това самоотнасяне на континуума.

Първоначално имаме простото безкрайно множество на естествените числа N. Ако с а изразим неговата обща числова променлива, като степенуваме с ще получим кардиналната му формула: . Това множество е в нулева степен спрямо континуума, т.е. е простото, до безкрай продължаване на континуума. Реално, тук срез няма. Няма и все още постигане на тоталността на континуума до неговата кардиналност.

Следва срезът на Дедекинд, но като просто продуциране на общата числова променлива на множеството на рационалните числа. Взимаме я в общата й формула:

 

 

Но това е вече отношение на две прости безкрайни множества, степенувани с :

 

и .

 

Получаваме:

 

 

 

Имаме отношение между две прости безкрайности, които всъщност продуцират кардиналността на континуума c, в нейното първо, базисно измерение.

Континуумът е така в първоначално генерирана непрекъснатост, гарантирана от среза, и се завършва като тоталност. За да може оттук да се спрегне със себе си. Т.е. да се генерират нови и нови измерения. А оттук и насищане на неговата непрекъснатост с нови срезове, с нови степенувания по безкрайност, с Алеф-0 като се насищат точките, границите на предходното измерение. С това ще се генерират нови и нови множества, спрегнати с . Получената формула е важна и защото потвърждава едно решение на Кантор: „Всяко реално число може да бъде дефинирано чрез една редица от рационални числа, конвертирана до него” (Stewart 2009: 57). Всъщност тук е „пределът“ на крайните числа, от които започват истински безкрайните, но и това трябва да е влогът, участието на крайните числа в развитата безкрайност.

Оттук вече можем да получим второто измерение на числовите множества, което вече дава умножение на континуума със себе си. И започва да отчита нарастването в стeпенуването с . Това трябва да е множеството на ирационалните числа – I. Ще имаме:

 

 

Третото измерение на континуума c прокарва нов срез и степенува полученото множество с , за да добие една нова кардиналност на c от трети порядък. Това трябва да е числовото множество R, то излиза в третото измерение на – спрегнатия континуум:

 

 

Оттук можем да продуцираме всяко следващо измерение и оттам всяка следваща кардиналност на континуума c, всяка в -среза на предходното множество и с продуциране на ново степенуване с .

Но това са вече множества с различна кардиналност, т.е. с различно насищане на континуума c. И това различно насищане с нови и по-големи Алефи. Така степента на Алефа съответства на мярката на измерност на новополученото спрегнато множество. Нека обобщим тази връзка на продуцирания Алеф и кардиналността чрез нарастването на мярката и съответно на числото на Алефите.

 

3.2. Формула на мярката на измерност

Горните формули извеждат кардиналност на числовите множества, получена върху кардиналността на континуума c. С формулата за мярката на измерност се насочваме към самото продуциране на Алефите. Те отчитат нарастването в степенуването на континуума c и така са числа на самото степенуване, а не на кардиналността на c. Разбира се, зад тях стоят нови и нови продуцирани безкрайни множества върху континуума c.

Отчитаме, че с нарастването на степенуването се прибавя по още един . Така мярката на Q е самият – като единицата, най-малкото трансфинитно число, изразяващо самото степенуване на кардиналността на c, което е и точно простата й мощност. Което отново потвърждава 1:1 съответствието между N и Q, въпреки че са изразени чрез , те се равняват на най-малко интензивната и проста мощност на континуума c.

 

Вече при I:

 

 

към началния Алеф-нула се прибавя още един. Т.е. това е вече вторият Алеф или:

 

.

 

„Плюс“ тук е условен знак, за да отрази още едно степенуване с . Но и как нараства -числото. При измерност 2 за пръв път имаме степенуване на цялото с още един Алеф-нула.

 

При R:

 

 

имаме

 

.

 

Но тук мярката на измерност вече не е 2, а е 3. Т.е. имаме нова мярка на измерност 2 +1 и още едно степенуване с , което означава, че мярката на измерност се повдига с , за да даде третия Алеф.

При мярката на измерност 2 сме добавили , т.е. имаме двойно степенуване с , и то резултира в ; с формулата на Кантор:

 

(I) .

 

Това е първото спрягане с още един Алеф. Когато самият Алеф се умножава със себе си. И това вече дава .

Но при мярката на измерност 3 сме степенували три пъти с , или към сме добавили още един . Тук вече сме степенували с , за да получим и новото измерение:

 

(R) .

 

Това е вече второто спрягане върху първото, с още един Алеф. За продуциране на едно ново -число решаващо значение е и нарастването +1 в мярката на измерност. Тя показва степенуването с предходното -число.

Установяваме възможност да извлечем Алефите, тъй като всяко ново множество се получава точно върху степенуване с . Тогава първото степенуване имаме при

 

 

или с кардиналното число на c: c . c. Тук имаме два нулеви Алефа, т.е. мярката на измерност е две. Самият брой на , които получаваме с добавяне на още един при всяко ново степенуване, дава мярката на измерност на полученото множество. За I тя е 2, за Q е 1, което поставя отново Q в 1:1 съответствие с N, но по същество това са базовите измерения. Вече за R имаме 3 пъти степенуване с , с мярка на измерност 3, четирите нулеви Алефа дават мярка на измерност 4, петте дават мярка на измерност 5 и т.н.

Сега вече трябва да се изведат новите Алефи, които отчитат получените нови безкрайни кардинални числа на продуцираните множества. Прибавянето на новия осигурява нов срез за изходното множество, което точно с това едновременно се разширява и степенува със себе си: точно затова мярката на новото множество се повдига, покрива с числото на предходния Алеф.

 

Можем да обобщим:

 

При

 

нямаме образуван срез, с което не се гарантира структурата на непрекъснатостта, както я постулира Дедекинд. Затова и тук наистина имаме 0-измерение по отношение на . Както и дори не е формирана непрекъснатостта на континуума c.

 

При

 

имаме срез, вече е структурирана първата непрекъснатост на континуума c чрез отношение на 2 прости, монотонни безкрайности. Но чрез простия срез а : b вече е оформена простата тъждествена кардиналност (и тоталност) на континуума c. През среза обаче трябва да се проведе Канторовото степенуване върху кардиналността на целия континуума, за да се получи интензивна, наситена безкрайност, насищане на континуума c. Тогава можем да установим „мярката” на интензивната безкрайност, т.е. на генериране на непрекъснатостта. Това е умножението, а така и степенуването на кардиналността на континуума със себе си. Това е негово спрягане с . И оттук растат Алефите, расте и интензифицирането на континуума c, увеличава се и числото на измеренията – като тяхна базова единица е тъкмо най-малкото трансфинитно число , а нарастването на Алефите, т.е. продуцирането на нови и закономерно следващи Алефи, е върху степенуването, повдигането на вече полученото с добития Алеф върху новата мярка на измерност. Така новите Алефи се получават закономерно от предходните, точно което ги демонстрира като числа, числа на непрекъснатостта на целия континуум в неговото интензифициране.

По този начин свързваме измерността на континуума c в генерирането на неговите пълни мощности със задълбочаването на непрекъснатостта. Но това е същинската функция и възможности на трансфинитните числа.

С полученото можем да обобщим една нова версия на генералната Хипотеза за континуума.

 

4. Обща формула на Хипотезата за континуума

Установяваме връзка между самата мярка на измерност и степенуването с , за да се получи всеки следващ Алеф. Това число отразява получаването на една нова измерност върху континуума c чрез ново и ново степенуване с . Нараства мярката на измерност като основа за получаването на новия Алеф чрез степенуването с предходния. Така и в самите измерения се развива общата кардиналност на числата, които трябва да изминат от 1 до ν цялата проста безкрайна кардиналност.

Получаваме следните общи зависимости:

 

 

/ R = Q . Q . Q = Q³

 

/ Q . Q . Q . Q = Q⁴

 

/ Q⁵

 

…

 

(продължава в част втора)