Ерлангенската програма на Феликс Клайн – методологически генезис и перспективи. Част 2

 

Иво Иванов Минков

Клайн определено насочва своята работа към приложение на понятието „инвариант“ в геометрията, задълбочавайки се в изучаването на т. нар. „хомогенно многообразие“: структура [M, G] съставена от многообразие M и група G, действаща транзитивно на M. Според някои изследователи това контрастира остро с понятието на Риман за структура [M;d], състояща се от многообразие, чиято „метрика“ d (p, q) се дефинира от диференциал на локално разстояние ds² = Σ g_ij dx_idx_j (Birkhoff, Bennett 1988: 150-151). Както във фундаменталната монография на К. Жордан (1838 – 1922) – Трактат за субституциите и алгебричните уравнения, – която изучава групите от субституции, теорията на Галоа и нейното приложение в уравненията е обяснено как понятието „група от субституции“, правилно приложено, детерминира кои полиномни уравнения могат да бъдат решени посредством радикали, така и Клайн показва по подобен начин как понятието „непрекъсната група от трансформации“ дава обективното основание за типологизиране на геометричните теории и теореми.

В своята научна работа Клайн се устремява и към конституирането валидността на неевклидовите геометрии. Последните той моделира като проективна геометрия в определено съотношение с Евклидовата геометрия. Според големия математик геометрията е теория (наука), която изучава свойствата на фигурите, запазени и съхранени, независимо от трансформациите на дадена група. Различна група от трансформации води до различна геометрия. Ето защо анализът на група от движения води до Евклидовата геометрия. Когато тези движения бъдат заместени от афинни, или проективни трансформации, резултатът е афинна и проективна геометрия. По този начин Ерлангенската програма на Клайн доказва, че започвайки от проективните трансформации, които, например, определен кръг носи в себе си, се достига до неевклидовата геометрия на Н. Лобачевски (1792 – 1856) (Вж. Trkovská 2007: 253).

Клайн е представител на аналитичното направление в областта на основите на геометрията (Рашевски 1978: 15). Но след възникването на новата неевклидова геометрия се поставя въпросът за валидността и истинността на геометрията изобщо в материалния свят. Или, от една страна да се обвърже нагледността с логическото изложение, но, от друга страна, да се обособи независимостта на логическото конструиране на геометрията спрямо геометричната нагледност (Рашевски 1978: 15). Клайн подхожда, търсейки логическата връзка на положенията в геометрията, и осъществява опит да обоснове върху нея развитието на различните геометрии. Ето защо концепцията на Клайн е и единна, синтезираща и обединяваща, и абстрактна, изцяло евристична, защото, едновременно утвърждава и обосновава валидността на евклидовата и неевклидовата геометрия. Първоначалното непосредствено (интуитивно) отношение на Клайн към въпросите самò е опосредстване, защото е отрицателното отношение на понятието към обекта. Това отрицание има в себе си порив да унищожи себе си, а по този начин прави себе си нещо просто, тъждествено. Така Програмата на немския математик резултира в тъждествеността, но откъм различието. Обект на изследване на Ерлангенската програма е науката геометрия, предмет на изследване са различните типове геометрии, а оперативните категории на Клайн са понятията „инвариант“, „група“, „група от трансформации“. Клайн разкрива различието на науката геометрия вътре в себе си и оттам достига простото тъждество, абстрактната всеобщност. Това е аналитичната страна на неговото мислене, която остава на това равнище и този резултат като простото тъждество е принцип, който все още не осъществява прехода, свързването на разликите. Но Клайн има намерение да свърже различията и в това се състои неговата епохална заслуга и своеобразие, бих я нарекъл философска, сиреч спекулативна евристика, при търсенето основанията на геометрията и математиката изобщо. Защото тъкмо развитието на разликите е това придвижване напред в познанието. Чрез субективното своеобразие в мисленето на Клайн, всъщност, се постига осъзнаване на идеята, че самите мисловни определения съдържат преход в себе си. В това върховно единство на всепроникващия логос, на субективността, от една страна, и на обективността, от друга страна, се осъществява същинското ставане на понятието, синтетичното придвижване напред в познанието. Клайн не заличава напълно всяко своеобразие на отношенията – нещо, което е характерно за аналитичното познание, – а по-скоро акцентира върху тези отношения, като ги поставя в основата на прехода от един тип геометрия към друг. Колкото и Клайн да анализира, той в действителност и синтезира, стремейки се да схване многообразието от определения и трансформации в тяхното единство, конкретно като проективна геометрия [3]. Привеждайки в отношение различията той установява необходимостта – инвариантното.

Ерлангенската програма на Клайн не е разбрана през 70-те и 80-те години на деветнадесети век. Едва след новото ѝ отпечатване през 1893 г. в списание Mathematische Annalen, на което той е дългогодишен редактор, идеите на Програмата биват осмислени и приети (Trkovská 2007: 255). Понятието „реалност“ у Клайн е не само този преход от абстракцията на битието към рефлексията и същността, което е ход на синтетичното познание. „Реалността“ е единството на аналитичното и синтетичното познание, абсолютната рефлексия на понятието, като тъждеството на различните геометрии в тяхното развитие и преход една в друга. Клайн не бяга от синтетичното познание. Нещо повече, моментите на абстрахиране, типологизиране и идеализиране, са моментите на понятието – всеобщност, особеност и единичност. Клайн създава синтетични отношения и закони, защото вплита своите субективни определения в своеобразната природа на геометричните предмети – да бъдат това, което са, независимо от допълнителните определения на пространството, като триизмерност, непрекъснатост, делимост и т. н. Но това е общият ход на познанието, защото всеобщността е първият момент на понятието, а особеността е второто, опосредстваното и опосредстващото на свой ред. Особеността като опосредстващо предпоставя и прехода от нещо първо. За пример, в геометрията трябва да се започне не с една конкретна пространствена фигура, а с простото като точка, линия..., което пък, от друга страна, е елемент на тази фигура. Но така се постига една синтетична наука, една система и систематично познание, както с право посочва Хегел (Хегел 1967: 316).

Така подхожда и Клайн, откъм дефиниции и абстрахиране през типологизации и подразделения накъм идеализации и постановяване на една цялостна „реална“ програма. Клайн разработва Ерлангенската програма откъм методологизираното познание, но не само посредством едностранчива абстракция, а чрез компаративен анализ на особените, различно определените геометрии и техните типични инварианти, с цел разпознаване на многообразните връзки на логическата схема. Достигайки метода на проективната геометрия, Клайн го разглежда като целокупност – цялото, което обгръща всичко особено и го запазва в себе си [4]. В действителност големият математик по-малко абстрахира и преди всичко идеализира, а впоследствие типологизира абстрактните и идеалните резултати. Той търси инвариантните същности в различните геометрии, като неговата научна трактовка на практика представлява елиминиране на непосредственото познание, на символа на всекидневното познание – обикновеното субект-обектно (S-O) отношение. Изследването на Клайн е методологично, защото той мисловно конструира чисти понятия, идеални обекти, които му вършат работа както в аналитичен, така и в синтетичен план, т. е. освен да изяснява определенията на различните геометрии той допълнително разширява познанието на науката геометрия изобщо. Като резултат след абстракциите и идеализациите Клайн се насочва към типологизиране на „различните геометрии според групите от преобразования, при които остават валидни техните предложения“ (Кокстер 1979: 264). Клайн определя дадена геометрия съгласно нейните същностни характеристики и я представя като проста цялост от основни свойства в системата на целокупната геометрия. Целта е обособяване на инвариантни своеобразия: „Като преходи от едни към други променливи, като преобразования в елементарната геометрия служат преди всичко транслациите и ротациите на геометричните фигури, при които самите фигури и разстоянията между образуващите ги точки остават неизменни“ (Кузнецов 1980: 19).

Например, инвариант на Евклидовата геометрия се явява теоремата на Питагор. При по-сложните геометрии, като проективната, инварианти са други изрази: „в проективната геометрия инварианти не са вече разстоянията между точките, не величината и формата на геометричната фигура, а единствено нейна форма – съотношенията между разстоянията; при проективно преобразование триъгълникът може да стане по-малък, но остава подобен на себе си“ (Кузнецов 1980: 19). Това са вече различните сечения. Идеята като „реалност“, духът като „реалност“ не е нещо абстрактно, а е движение, процес и покой едновременно. Различните геометрии необходимо съществуват, те са необходим етап, през който произлиза пълното, конкретно единство. Но ползотворното в подобно изследване, посредством абстракции, идеализации и накрая типологизация, която генерално определя и нормативира по схематичен начин, дава възможност и посока за по-нататъшно изследване. Това е евристичното, методологическата перспектива.

Големият немски философ Хегел посочва в какво се състои съдържанието на теоремата изобщо: „...отнасящата се към себе си определеност, разликата на предмета вътре в самия себе си и отношението на различаващите се определености една към друга. Дефиницията съдържа само една определеност, подразделението – определеността спрямо други; когато стигне до единичността, предметът вътре в самия себе си се е разложил на своите определености. Докато дефиницията остава при общото понятие, в теоремите, напротив, предметът е познат в неговата реалност, в условията и формите на неговото реално налично битие. Ето защо заедно с дефиницията теоремата излага идеята, която е единство на понятие и реалност“ (Хегел 1967: 323).

Подобно на Хегел, който разглежда историята на философията по особен, но „реален“ начин, то и Клайн се обръща специфично към историята на геометрията и на математиката въобще. Той методологизира и принципира инвариантното в историческия ход на своята наука. Метафизическата и метаматематическата позиция на Ерлангенската програма се осмисля откъм методологизираното понятие, като „система в развитие“ по аналогия с Хегеловата програма за историята на философията. По такъв начин вниманието е насочено към истинното, истински „реалното“ в конкретната област, към понятието като такова. Този подход обаче може да послужи и като модел, матрица, през призмата на която да се „отключи“ реалността, да се отправи взор към дълбините на битието. В това заляга своеобразната евристика, която е фундаментална част от духовната еволюция на човешкото същество.

 

Бележки:

1. В статията използвам английския превод – A Comparative Review of Recent Researches in Geometry, translated by Dr. M. W. Haskell, Assistant Professor of Mathematics in the University of California. Published in Bull. New York Math. Soc. 2, (1892-1893), 215-249. LaTeXed by Nitin C. Rughoonauth  –  според който е и цитирането.

2. Е. П. обикновено се възприема като „забележителност“ от математиката на XIX век. Макар под формата на статия (лекция), тя влияе изключително много върху геометрическото мислене, през втората половина на столетието, определяна е като най-влиятелната работа след „Елементи“ на Евклид и разработките на К. Фр. Гаус (1777 – 1855) и Б. Риман (1826 – 1866) (Birkhoff, Bennett 1988: 145).

3. В бележките на края на Е. П. Клайн посочва ясно, че разграничаването на аналитичното и синтетичното познание е старо разбиране. Анализът е първата необходима, но не единствена стъпка по пътя на развитие на познанието: Вж. “On the Antithesis between the Synthetic and the Analytic Method in Modern Geometry”: Klein 1892.

4. Кейли дори надценява универсалността на проективната геометрия, посочвайки: „По-систематичното изложение в настоящия уводен мемоар... би трябвало да игнорира съвсем понятието разстояние и метрична геометрия... Метричната геометрия е част от проективната геометрия, а проективната геометрия е цялата геометрия“. Той често нарича проективната геометрия „дескриптивна“. Вярно е, че тя включва афинната, евклидовата и неевклидовата геометрия, но едновременно с това не включва общата риманова геометрия, както и топологията (Кокстер 1979: 297).

 

Библиография/Referenses

Bashmakova, I. G., Kuzicheva, Z. A. 1981. Istoria na matematikata. T. IV. Izd. Nauka i izkustvo, Sofia. Prev. ot rus. ezik Vl. Sotirov. [Башмакова, И. Г., Кузичева, З. А. 1981. История на математиката. Т. IV. Прев. от рус. език Вл. Сотиров. София: Изд. Наука и изкуство].

Galua, E. 1936. Sochinenia. M. – L., ONTI. [Галуа, Е. 1936. Сочинения. М. – Л., ОНТИ]

Kleyn, F. 1937. Lektsii o razvitie matematiki v XIX stoletii. Ch. I. M. – L., ONTI. [Клейн, Ф. 1937. Лекции о развитие математики в XIX столетии. Ч. I. М. – Л., ОНТИ].

Kokster, H. 1979. Vechnata geometria. Izd. Nauka i izkustvo, Sofia. Prev. ot angl. ezik G. Stanilov. [Кокстер, Х. 1979. Вечната геометрия. Прев. от англ. език Г. Станилов. София: Изд. Наука и изкуство.].

Kuznetsov, B. G. 1980. Istoria na filosofiyata za fizitsi i matematitsi. Izd. Nauka i izkustvo, Sofia. [Кузнецов, Б. Г. 1980. История на философията за физици и математици. София: Изд. Наука и изкуство].

Rashevski, P. K. 1978. „Osnovi na geometriyata“ na Hilbert i myastoto im v istoricheskoto razvitie na vaprosa. v: Hilbert, D. 1978. Osnovi na geometriyata. Izd. Nauka i izkustvo, Sofia, 5-40. [Рашевски, П. К. (1978). „Основи на геометрията“ на Хилберт и мястото им в историческото развитие на въпроса. в: Хилберт, Д. 1978. Основи на геометрията. София: Изд. Наука и изкуство,  5-40].

Hegel, G. V. F. 1967. Naukata logika. T. II. Izd. BKP, Sofia. [Хегел, Г. В. Ф. 1967. Науката логика. Т. II. София: Изд. БКП].

Birkhoff, G., Bennett, M. K. 1988. Felix Klein and His “Erlanger Programm”. In: History and Philosophy of Modern Mathematics. Vol. XI. Ed. by William Aspray and Philip Kitcher. Minneapolis& University of Minnesota Press.

Ewald, W. 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. Vol. I. Oxford: Clarendon Press.

Klein, F. 1892. A Comparative Review of Recent Researches in Geometry. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 2 (No. 1): 215-249. New York: Macmillan & Co.

Klein, F. 1896. The Arithmetizing of Mathematics. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 2 (No. 8): 241-249. New York: Macmillan & Co.

Trkovská, D. 2007. Felix Klein and his Erlanger Programm. In: WDS’07 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 251-256. Prague: MATFYZPRESS.