NotaBene е електронно списание за философски и политически науки. Повече за нас

 

Числови множества и Абсолютният континуум на числата

 

Силвия Владимирова Кръстева

 

В хода на своята уредба математиката поставя своята генерална област над количеството, мярата и измерността и инструментите за тяхното отчитане и пресмятане. От характеристиките на самия ѝ предмет се оформя изискването за определимост на това количество, като величина, но и тъкмо с оглед на чистата величина и самото ѝ определяне – и конституцията на величината, в нейното максимално разширение и дори движение, за да овладее обхвата и на предмета, и на инструмента. Така възникват два може би достатъчно отделими домейна, отделими според типа количество и измерност – домейнът на числата и домейнът на фигурите и пространствата. Не толкова отделени в Елементи на Евклид, като развити по-скоро под числото на мярката и измерването, оттук двата домейна се раздалечават все повече, макар модерната математика именно да развива области на тяхното свързване. Дали и в сферата на математиката, както в сферата на физиката, не трябва да се потърсят началата на една обща теория на всичко? Тази особена синхронизираща точка, обаче, изисква стъпки и основания в извличането на онова, което не само основава, но и някак завършва, окомплектова и двата домейна. В този особен край и връх на математиката започва да се оформя един концепт – концептът за „абсолютния континуум“ на числата, но и на фигурите, който Ф. Ерлих поставя на най-високо място в съвременната теорията на числата, привеждайки като мото един знаменит цитат на А. Франкъл и др. от тяхното изследване „Основи на теория на множествата“ (1975): „Хвърлянето на мост над пропастта между домейните на прекъснатостта и непрекъснатостта, или между домейните на аритметиката и геометрията е централен, вероятно дори централният проблем на основанията на математиката“ (Ehrlich 2012: 1).

Именно това ще е и целта на тази студия – да генерираме произхода на концепта за „абсолютния континуум“ на числата и да изведем мястото му в съвременната теория на числата. При възникването на тази основа на числовата теория се развиват и важни теми за отношението на понятието за числови множества и геометричното им проектиране, които носят значими решения и проблеми в общата теория на числовите множества. Така ще покажем връзки и ще изградим репери на отношения между теория на числата и възможностите на геометрията. И ще демонстрираме основното, – че концептът за „абсолютния континуум“ застава като централен проблем и подстъп към изясняване на основанията на математиката и за указване към собствения ѝ хоризонт и завършване.

За изграждане на цялостна теория на числата математиката не може да подмине един проблем, който се оказва все по-значим, колкото по-ясно идва на фокус пред математиците. Това е проблемът за непрекъснатостта в редицата на числата или, както го формулира Рихард Дедекинд: за „придобиването на непрекъснат числов домейн (number-domain)“ (Dedekind 2007а: 1). А това ще рече, да се дефинират числа, които са непрекъснати: или които имат своята особеност и структура да притежават безкрайността. Математиците през късния 19-и век най-накрая се изправят лице в лице с проблема за безкрайността и нейното количествено изразяване и определяне. Дали тази безкрайност ще определя движението на редицата на числата – както е при базовите естествени числа, продължаващи да растат до безкрайност, или ще се съдържа в самото число, като неспирна поредица от неговите цифри, както е при ирационалните числа, особено при т.нар. трансцендентни числа, например числото π, проблемът с участието на безкрайността при дефинирането на числата и на „тялото от числа“ (Dedekind 2007а: 2) остава да бъде решен в математическата теория. Дедекинд го определя и много по-широко: „да се изследват всички непрекъснати домейни“ (Dedekind 2007а: 5), с които математиката разполага въобще. А оттук и естествено възниква въпросът – каква е връзката на тези домейни един с друг, както е при „прекъснатите“ домейни на числата. А има ли въобще дефиниране и ред при числата, без това отиване до безкрайност? Очевидно и аксиоматично, математиката разполага своята сила тъкмо в това дихотомично, и дори контрадикторно, разделение на крайно и безкрайно, и то не е извор на нейната слабост и дори несъстоятелност, а трябва да се приеме точно обратното: като собствения ѝ елемент, собствена стихия и като фундаментално отношение, единствено от което произлиза същинската ѝ сила и инструментариум да оперира с количеството и измерността. Може би дори това отношение крайно – безкрайно позволява да се подходи към същинските мостове между двата фундаментални домейна на числата и на фигурите и пространствата.

 

I. Дефиниране на числата

Числата са основополагащ „изключително полезен инструмент за човешкия ум“, както го назовава Р. Дедекинд (Dedekind 2007а: 2), в математиката, израз на едно определено количество. Но с факта на цифрите те влизат в математиката някак предзададени. Едно философстване върху математическите начала трябва да постави въпроса за „природата на числото“ (Dedekind 2007б) и за метода на неговото възникване като математически инструмент. А това отваря много възможности пред математическото фундиране, използвано от големите математици и теоретици в изграждане на собствената им математическа концепция. Кои специфични схващания довеждат обаче до „революцията“ в математиката, осъществена от Георг Кантор (Jourdain 1915: i) и до извличане на фундамента на математиката, за какъвто е обявена теория на множествата, развита от Кантор (вж. Кръстева 2018).

За да дефинираме едно число, трябва да определим неговото предназначение, т.е. за какво точно количество то отговаря, и оттам и неговия собствен строеж, както постановява Вайерщрас: „Казваме, че едно число е „определено“, ако знаем от какви елементи то е съставено и колко пъти всеки елемент се появява в него“ (цит. по Jourdain 1915: 18). Това е изключителна формулировка – тя навлиза към природата на числото като самостоятелен обект, със своя структура от елементи и с конкретен метод, операция на взаимодействие на тези елементи. Това поставя числото повече, даже почти напълно, като самостоятелно „творение“ на математика, задаващ числата. Дедекинд тук е напълно ясен: „числата са свободни творения на човешкия ум, те служат като средство за схващане различието на нещата“ (Dedekind 2007б: 14). Дедекинд предназначава числата към рефериране на нещата, както и Кантор – те служат за все по-съвършено моделиране на реалните процеси в действителността. Но Кантор много по-силно отдава тяхното значение на вътрешния мисловен акт, с който се конструира едно число: „като една абстрактна картина в нашия ум“, „една интелектуална картина, едно общо понятие, е генерирано в нас“ (цит. по Jourdain 1915: 80). С което става явна и новата математическа цел на Кантор: не само дефинирането на числата като такива, в познатия режим на естествените цели числа, а отиване отвъд тази редова представа за числото и обхващане на самата редица на числата, в случая на естествените числа, с нейната специална характеристика да отива до безкрайност. Това е и целта на Кантор: да постигне истинско „разширение на теорията на числата“ (цит. по Jourdain 1915: 52). И двамата велики математици всъщност са търсели решение на въпроса: как да се обхванат цялостните възможности на числата да представят и да изразяват количество? И как всъщност да се дефинират тези цялостни възможности: каква е изобщо ултимативната цел на числата?

Всъщност в съвсем началното поставяне на числото и Дедекинд, и Кантор приемат въвеждането в числото, направено още от Евклид в Елементи. В Книга седма на Елементи е поставена основата на елементарната теория на числата. Евклид започва с дефинирането на единицата в Първото положение и я обосновава тъкмо в кореспонденция със съществуващите неща, с обособени предмети: „1. Единицата (монас) е [това], според което за всяко съществуващо нещо е казано, че е едно“ (Euclid 2008: 194). Веднага следва образуването на останалите числа от единицата: „2. И число е много (multitude), съставено от единици“ (Euclid 2008: 194). Единицата е основен елемент на числото, а нейното повторение образува всяко едно друго число, като в това дефиниране са заложени както основните типове естествени числа – четни, нечетни, прости, степенувани, така и възможността за образуване на други числа: ако те не могат да се образуват с този елемент – „цялата“ единица.

Дедекинд също тръгва от такъв елемент – полагането на самостоятелната предметна единица, макар да я влага в една по-обща конструкция на множеството от такива обекти. За него обаче единицата, с предметното ѝ определение, е все още важна, тъй като единицата определя един устойчив обект за отмерване, с една своя позиция, както по-късно ще разгледаме, това е геометричната точка. Дедекинд дефинира началното полагане на едно нещо: „разбирам под нещо всеки обект на нашето мислене“ (Dedekind 2007б: 21). Отделните неща, означени с a, b, c, „формират системата S“, с което е въведена тяхната определена съвкупност, която Дедекинд нарича „система“, като всяко от тези неща е „елемент“ на системата S (Dedekind 2007б: 21). Същевременно за което и да е от нещата от съществено значение е дали принадлежи на системата S или не (Dedekind 2007б: 21), което е логическият закон за съставяне на тази система. Изключително важно е, че Дедекинд предвижда и система, т.е. множество, без нито един елемент, наричайки я „празна система (empty system)“ (Dedekind 2007б: 21). С това съвкупността е конституирана като онова, което удържа и съвместява елементите-единици и така може да бъде в известен смисъл дефинирано преди тях, а със сигурност като основа за числата. Ще отбележим само още, че Дедекинд въвежда и система с безкрайно съдържание на елементи, за която постулира, че е такава, ако една част от системата е „подобна“ на цялата система, защото част от една безкрайна система трябва да е също безкрайна (Dedekind 2007б: 31).

Дефинирането на числата в логическия режим на обеми от елементи показва, че началният общ елемент от структурата на числата не трябва (или още не е задължително) да са предметните единици, а самата тяхна съвкупност, тъкмо като нов общ елемент от техния строеж. Това е новото, което предприема Г. Кантор. Той подхожда към теорията на числата с началното дефиниране на множеството от дадени неща, което изрично обявява в Приноси към теорията за трансфинитните числа (Contributions to the Theory of Transfinite Numbers): „схващането на едно множество като „едно цяло“ (Cantor 1915: 85). „Събирането“ на числата се превръща в самостоятелна формация със свой акт. Този акт е с логически характер, Кантор го определя като „закон на цялото, на единството (unitary law)“ (Cantor 1915: 109) при събирането на многото. С този закон всяка една съвкупност от неща се превръща в „органическо цяло“ (цит. по Jourdain 1915: 74) и се схваща като „едно“ (цит. по Jourdain 1915: 54). Формулировката на унитарния закон гласи: „ако се абстрахираме от природата на елементите и от реда, по който са дадени, ще получим кардиналното число или мощността на множеството“ (цит. по Jourdain 1915: 74) и се отнася образуването на всяко едно множество.

Този особен акт на единството за всяко едно множество дава на Кантор възможността за общо схващане на цялото множество и ще е решаваща стъпка за дефинирането и конструирането на числата. В цялото Кантор заличава различното полагане на отделните елементи и как те са структурирани в конкретната съвкупност. Нарича тези действия: „двоен акт на абстракция“, както от „природата на различните елементи“, така и от техния ред (Cantor 1915: 86). С това получава пълен интелектуален образ ва чистото количество на множеството: а това е точният брой на неговите елементи. Това е изцяло ново понятие и измерител за едно множество, което Кантор нарича „мощност“ (power) на съответното множество. Мощността е така определена величина, която се изразява чрез едно число – това е броят на елементите в множеството: „и това число има съществуване в нашия ум като интелектуален образ или проекция на даденото множество М“ (Cantor 1915: 86).

С всичко това е поставена основата на теория на множествата, но и на извеждането на числата при Кантор. На всяко число съответства определено множество от елементи, мощността на това множество основава съдържанието на съответното число. Но следователно няма число без съответстващата му мощност на едно множество. А тогава важи и принципът, че всяко едно множество има мощност, а оттам и определено количество, което задава съвкупността на неговите елементи. Кантор нарича това число, което съответства на неговите елементи, негово кардинално число.

Чрез общите конституенти „множество“ и „единичен предмет“ Кантор дефинира естествените числа. Първо въвежда единичното множество Е0, което съдържа едно единично нещо е0, и получава Е0=( е0), с което дефинира числото 1: „на множеството Е0 съответства като кардинално число това, което наричаме „едно“ и означаваме с 1“ (Cantor 1915: 98).

След това създава следващото множество, чиито елементи са Е0 плюс началното единично множество и още един елемент е1, с което получава „Е1=( Е0, е1)= (е0, е1). И чието кардинално число е 2“ (Cantor 1915: 98).

С постоянното прибавяне на нови елементи Кантор извежда „редица (series) от множества“ (Cantor 1915: 97). Редицата на естествените числа е така вече изразена като редица от множества, всяко от тях е получено непосредствено от предходното с прибавяне на един нов елемент. Техните мощности образуват именно редицата от числа, които са N-числа, естествените число от множеството N, и които Кантор нарича „финитни (крайни) кардинални числа“ (Cantor 1915: 97).

С извеждането на числата Кантор получава едно ново множество: то е множеството на финитните кардинални числа. Разбира се, че то има особени свойства, първото от които е неговият специален ред: елементите в него произлизат един от друг. Имат точно нарастваща стойност. Но какво ще стане, ако и на това множество се приложи законът на единството, унитарният закон на Кантор за образуване на множествата? И всички елементи без значение на тяхната природа, възникване и ред се споят до едно органично цяло. Ще има ли това множество своя мощност и каква ще бъде тя?

Редицата на естествените числа продължава до безкрайност. Не може да се намери най-голямо естествено число (поне в стандартната теория на числата). Тогава възниква въпросът за количеството на това безкрайно множество, т.е. за неговата мощност или за неговото кардинално число. То не може да е от редицата на финитните кардинални числа, следователно трябва да не е крайно, а така да е безкрайно кардинално число. В противен случай трябва да обявим, че N – множеството на естествените числа, няма мощност или че N не може да е множество. С тази абсолютно революционна и смела крачка Кантор предприема обосноваването и въвеждането на безкрайни кардинални числа, защото, следвайки аксиомата на образуване на множествата, всяко едно множество трябва да има своя мощност и оттам свое кардинално число.

Към областта на крайните числа в математиката Кантор открива и присъединява една изцяло нова област – областта на безкрайните числа. С това допълва и едва така поставя началото на завършването, но окомплектоването на цялостната теория на числата. Но безкрайните числа според Кантор не могат да бъдат дефинирани със средствата, с които математиката борави с крайните числа: по думите на Кантор, не може „теоремите, с които присъждат всички свойства на крайните числа“ да важат за „безкрайните числа (infinite numbers), които, ако са мислими в някаква форма, трябва да конституират нов вид числа, като противоположни (opposed) на крайните числа“ (цит. по Jourdain 1915: 74). Тъй като те изникват върху редицата на естествените числа и са отвъд всеки един край на тази редица, а единствено я полагат в нейната чиста мощност, като определено количество, брой, на елементите, Кантор нарича този нов вид числа „трансфинитни числа“.   

Кантор обосновава новия вид числа като „безкрайни числа“ и като „определена форма на завършеното (completed) безкрайно“ (цит. по Jourdain 1915: 53). Това означава, че трябва да има различни видове безкрайни множества, а не само с общо и несъществено количество, обозначено със знака за безкрайност ∞ (цит. по Jourdain 1915: 55-56). А това води и до изникването на различни мощности на тези множества, а оттам и до различни трансфинитни кардинални часла. За Кантор тези безкрайни числа представят актуално безкрайното, като едно цяло с определено, макар и безкрайно, количество, което трябва да се изрази и дори да се изчисли с определена величина. И тук „определено“ е самото изразяване на тази величина с нов вид числа. Трансфинитните числа така са оформени количества на безкрайното, Кантор ги дефинира точно като „модификации на актуално безкрайното“, каквито са според него и ирационалните числа (цит. по Jourdain 1915: 77). Точно така постепенно се заражда теорията за континуума – в цялост на своето количество като безкрайното, чиито модификации са онези числа, които са безкрайни или имат своя безкрайна част. Именно така – чрез модифицирането на безкрайното – трансфинитните числа запълват съществуващата празнота в математиката по отношение на работата с безкрайното количество, и така изобщо със самото генериране на количеството и на неговата определеност.

Необходимостта на извеждането на първото трансфинитно число от Кантор лежи върху формирането на цялото на безкрайното множество N – числовото множество на естествените числа, като базовите числа изобщо в математиката. Това е „материалът“ (по Jourdain 1915: 79), необходим за неговото извличане. Негов елемент е „мощността“ – кардиналното число на всяко едно множество. С това Кантор въвежда мощността на N, безкрайното множество на естествените числа с ν-елемента, което дава първото трансфинитно кардинално число. Означава го с Алеф-нула: „Първото трансфинитно множество е дадено чрез тоталността на крайните кардинални числа ν. Наричаме го „Алеф-0“ (Aleph-zero)א0 (Cantor 1915: 103). То е първото и така най-малкото трансфинитно число. Но има свойството да е по-голямо от всяко едно крайно цяло число, колкото и голямо да е то, тъй като א0 не е последното крайно число, а е число, образувано върху цялото на редицата на естествените числа. А е първото, тъй като естествените числа са същински крайни числа и са базовото, първично дефиниращо числата изобщо, числово множество. א0 всъщност трябва да представлява единицата за безкрайните числа, така както я имаме в основата като елемент и акт за съставяне на редицата на крайните числа. א0 е тогава самото начало и основа за изграждане на безкрайните числа: „възниква въпросът за по-високи безкрайни кардинални числа и как те произлизат от א0(Cantor 1915: 109).

Очертават се много нови въпроси: Как א0 се отнася към N като към числово множество? Има ли и други безкрайни числа? Как те се извличат на основата на другите типове безкрайни множества? Какво е отношението на безкрайните числа и тяхното множество/множества и познатите числови множества? Към основата на тези въпроси ще се приближим с поглед към вътрешния механизъм на произвеждане на числата.

Изводи от I част:

1. Компонентите на числата имат своя нова база – в общото цяло на съвкупността на техните индивиди, които са в основата на броенето. Това е множеството от елементи, индивиди.

2. Всяко множество така е съставено върху определено количество от елементи.

3. Това определено количество задава общия брой, като величина, на елементите, наричан от Кантор мощност на това множество и изразен с „кардинално число“. Всяко множество има своя мощност, респективно свое кардинално число.

4. На мощността на крайните множества съответства крайно кардинално число. На безкрайните множества съответства безкрайно кардинално число, както Кантор го назовава, „трансфинитно“ кардинално число.

5. Алеф-0 е първото и най-малко трансфинитно число, то е трансфинитното кардинално число на безкрайното множество на естествените числа.

6. Типовете безкрайни множества ще определят трансфинитни числа, което поставя въпроса за възможна „редица на трансфинитните числа“ (Cantor 1915: 109).

 

II. Произвеждане на числовите множества

С новия логически апарат и в новата проекция на числата възниква възможността да се дефинират множествата, съставени от числа, т.е. от определени количества. С инструментариума на Кантор – това ще са множества, съставени от кардинални числа или от мощностите на тези множества. Как се генерират изобщо числовите множества? Може ли това да бъде един цялостен „ чисто логически процес на построяване на науката за числата“ (Dedekind 2007б: 14), както го дефинира Дедекинд? Той вижда тази логическа генерация на числовите множества в необходима връзка с проблема за „непрекъснатия числов домейн“ (Dedekind 2007б: 14). А Кантор поставя общо „въпроса за определението на различни мощности на множествата в цялото на природата“ (цит. по Jourdain 1915: 75), като така подчертава истинската цел и възможности на числата и специално на новите трансфинитни числа. Ако сме в състояние да изведем генерациите от числови множества, в каква обща организация трябва да ги положим и как това ще определи изобщо структурата, целта и възможностите на числата?

Тези въпроси започват да очертават единен облик на теорията на числата. Върху какви принципи трябва да се основе произвеждането на числата, като в тези операции те образуват дефинирани числови множества. Според Дедекинд в основата на този логически генезис трябва да се постави аритметиката и, по-точно, „броенето“ (Dedekind 2007а: 2). То въвежда базовото числово множество N – на естествените числа, формирайки „безкрайна редица от положителни цели числа“ (Dedekind 2007а: 2). В тази редица всяко число, всеки член е дефиниран непосредствено от предишния и е произведен чрез ясен механизъм: присъединяване на единицата. Тези две условия отговарят точно на дефиницията на К. Вайерщрас за същността на числото. Дедекинд въвежда два типа фундаментални операции за произвеждането на базовите числови множества. Първият тип операции са с „неограничен характер“, докато вторият тип се основава на „ограничение или лимитация“ (Dedekind 2007а: 2). Първият тип въвежда две операции: базовия „първоначален акт“ (прибавянето на единицата) и повторението му, за да се произведат неограничено и непосредствено нови числа (Dedekind 2007а: 2). Тези числови структури се основат на операциите събиране и умножение и генерализирани дават домейна на естествените числа.

Вторият тип въвежда лимитацията на първоначалния акт и се основава върху индиректни операции, с които се стига до отнемането и разделянето, или това са изваждането и делението. Специален случай на лимитацията, даже според Дедекинд отличен като трети акт, е произвеждането на пропорциите и степените, чрез които се въвежда „нов креативен акт“ и се получават „негативните и дробните числа“ (Dedekind 2007а: 2). Ако обобщим, Дедекинд въвежда двата акта: на повторение и на лимитиране за произвеждане на числата, включвайки така фундаментални аритметически операции. Основава се на идеята, че тези основни математически операции водят до получаване на базови числови множества, като в основите е заложен принципът на единицата и в акта, в дефиницията на числото. Получените числови множества са на естествените числа, на целите числа, на рационалните числа и на ирационалните числа. Като тъкмо дефинирането и изследването на природата на ирационалните числа е целта на Дедекинд в неговата статия. Той го определя така: „Понятието за степен (Ratio) на две числа от един и същи вид може ясно да бъде развито само след въвеждане на ирационалните числа“ (Dedekind 2007а: 5). Това е и числовото множество, което той вижда като извеждането на един (и дори първият) непрекъснат числов домейн. Всяко от получените числови множества е в своята тоталност безкрайно множество, безкрайна редица от числа. И всяко множество се конституира върху въвеждането на трансфинитно число. Чрез изведените принципи се въвежда и се демонстрира определена връзка по генериране между тези базови числови множества. 

Кантор формулира своите принципи за произвеждането на числата като принципи на генериране на числови множества, и по-специално на нови, нововъведени числови множества. Принципите на произвеждането са насочени към създаването на нови числови множества и не се основават на базовите математически операции.

Първият принцип на генериране при Кантор полага самата възможност за добиване на едно ново число. Този принцип потвърждава, че всяко числово множество има своя определена мощност. Новото число се получава чрез „изразяване на цялото обединение на един „естествен ред на последователността“ (цит. по Jourdain 1915: 56) на числата. Т.е. всяка една (безкрайна) редица от числа може да бъде схваната до едно цяло и върху това обединение да се изведе нейното количество, т.е. новото число. Разбира се, Кантор обосновава механизма за получаване на първото трансфинитно число, върху цялата безкрайна редица на естествените числа. Но всяко едно число е всъщност такъв резултат от схващане на последователност от числа, които водят до него. А така и „изброяват“ неговата „част“ от домейна на числата. Всяко число започва да се определя със своето получаване в домейна на числата изобщо. В голяма степен това е новаторско решение и е изоставяне на принципа на единицата при генерирането на числата. Първият принцип на Кантор аксиоматизира и природата на числата в образуването на безкрайни последователни редици. И това трябва да са тогава с необходимост – редици с нарастваща величина (в противоположната посока – намаляваща съответно).

Вторият принцип на генерирането на числата при Кантор постулира непосредственото получаване на числата, дори и спрямо различни числови редици. Новото число „се създава“ спрямо безкрайната редица от числа като „следващото най-голямо спрямо всички тях“ (цит. по Jourdain 1915: 57). То дава точно общият им брой, по мощност и между всички тях и това число „не лежи друга мощност“ (цит. по Jourdain 1915: 59). Всяко едно безкрайно числово множество има точно едно число, което дава неговата мощност. Така следователно, върху основата на новия вид число можем да развием неговата безкрайна редица от определени количества. Тези определени количества също трябва да изразяват безкрайна редица от предходни числа. Така всяко едно число може да основе своя безкрайна редица от други числа от неговия тип. Тези нови числа с необходимост изразяват определени мощности на други множества от числа.

Комбинирани заедно, „първият и вторият принцип на Кантор позволяват да формираме всички разглеждани числа“ (цит. по Jourdain 1915: 59). Нещо повече, чрез тези два принципа числата се генерират в „абсолютна редица от последователни числа“ (цит. по Jourdain 1915: 60), като „последователна формация от числа“ (цит. по Jourdain 1915: 59). Трябва да подчертаем и особено важния момент тук на непрекъснатост: върху едно числово множество се произвежда новото число непосредствено, а всяко число непосредствено произвежда своите следващи членове в непрекъсната поредица. Този изключително важен момент се гарантира от Кантор и с неговия трети принцип на генериране на числовите множества. Този трети принцип е на лимитирането и предписва „лимити на всеки клас“ (цит. по Jourdain 1915: 60). Тези лимити се определят точно от непосредствено следващия и с необходимост по-горен клас от числа, които дават тоталната количествена определеност на предходния. Така „следващото множество се основава върху предходното, което трябва да е с определена мощност“ (цит. по Jourdain 1915: 59-60). Именно така всяко едно числово множество получава своята тотална количествена определеност! Като тя се дава от непосредствено следващия по-висок клас. По третия принцип базовите числови множества и числовите множества изобщо са в необходима връзка на произвеждане едно от друго и на последователност.

Третият принцип въвежда строгата последователност, което е и гаранция за непрекъснатост на числовите множества в целия домейн на числата. Той ни „позволява да дефинираме различни числови класове с непрекъсваема нарастваща мощност в редиците на тези числа“ (цит. по Jourdain 1915: 59). Определянето на едно числово множество става с произвеждането на по-горното. Домейнът на числата се аксиоматизира като една тотална структура от числови множества с непрекъсваема нарастваща мощност. Само в тази тотална организация числата намират своята цел и предназначение. И се въвеждат в един общ процес на генериране на добре-определени (всеки със своята мощност) и добре-наредени числови множества. Всяко числово множество се организира като безкрайна редица, структурирана със своя последователност, и опираща в по-горното ниво на следващото числово множество. А третият принцип „полага успешно определени лимити върху този процес, така че да получаваме естествени сегменти (Abshnitte), наречени числови класове, в тази последователност“ (цит. по Jourdain 1915: 60). Тогава всяко едно числово множество представлява определен „сегмент“, „отрязък“, със своя елемент, организация и мощност в домейна на числата.

Трите принципа на Кантор разкриват една грандиозна картина за тоталния смисъл, цел и разгръщане на числата. На първо място те се организират и развиват в свои числови множества, които са част от цялостния домейн на числата. Дедекинд също определя тази обща формация при теорията на числата като: „създаването на чистия непрекъснат домейн на числата“ (Dedekind 2007б: 17), подчертавайки неговата необходима характеристика да е непрекъснат! Което потвърждава и Кантор: „концепцията за континуума“ „може да ясно да се обясни само посредством концепцията за непрекъснатостта“ (цит. по Jourdain 1915: 70-71). Кантор обаче генерализира тази нова и тотална формация до нейния предел и вътрешно организиране. Той разкрива организацията от възходящи и непрекъснато произведени едно от друго числови множества. Според него в „последователната формация на числовите класове винаги можем да отидем по-далеч“ (цит. по Jourdain 1915: 62). И това е задачата на теорията за трансфинитните числа, но и на теорията на числата изобщо. В тоталната проекция на последователността от числови класове, крайни и най-вече безкрайни, се открива цялостният домейн на числата. Кантор го нарича „цялото абсолютно безкрайно множество на числата“ (цит. по Jourdain 1915: 62). И го определя още така: „Абсолютно безкрайната редица от числа така ми изглежда да бъде, в определен смисъл, един подходящ (suitable) символ на Абсолюта“ (цит. по Jourdain 1915: 62). С тези формулировки Кантор въвежда Абсолютния континуум на числата. Абсолютният континуум е първоосновен елемент и област за произвеждане на числовите множества. Абсолютният континуум на числата съдържа всички числа и особено съдържа всички числови множества. Те единствено в своята организация и непрекъсната връзка и произвеждане и следване могат да го развият и изпълнят. Така всяко едно число и всяко едно числово множество заемат своя определен „сегмент“, отрязък от Абсолютния континуум.  Целта на числата е именно това – да запълнят Абсолютния континуум, да се организират до неговото развитие. Даже тук Кантор казва „в една диалектическа генерация от концепти“ (цит. по Jourdain 1915: 36), от числови формации. Само с тази обща организация теорията на числата добива пълна аксиоматичност и завършеност.  

Дефинирането на Абсолютния континуум показва пътя за развитието на трансфинитните числа, което Кантор поставя: „въпросът за по-високите кардинални числа и как да се процедира от א0 нататък“ (Cantor 1915: 109), от първото и най-малкото трансфинитно число. След א0 трябва да се дадат следващите трансфинитни мощности, съответно на следващите трансфинитни множества. Те трябва да са множествата, които развиват именно Абсолютния континуум в задачата и целта за пълната му организация и насищане.  

Това е и проекция на завършването на Абсолютния континуум, както я поставя Кантор, да се изведат „всички познати множества в континуума“ (цит. по Jourdain 1915: 76). Това е и голямата задача: да се определят основните безкрайни множества, които структурират и осигуряват завършването на Абсолютния континуум. Да се определи и изведе връзката на познатите числови множества с Абсолютния континуум. Като и, на тази основа, да се дефинират връзките между самите числови множества, отново в общата им цел да организират и да изпълнят Абсолютния континуум. Това е и истински математически изпълнимата задача и също така дефиниция на безкрайността в математическата теория.

Кантор залага един основен механизъм в търсенето на числовите множества и техните отношения едно спрямо друго и спрямо Абсолютния континуум. Той го дефинира с огромна емоция: „Също така ми се струва толкова забележително, че всеки числов клас – и следователно всяка мощност – кореспондира с едно определено число от абсолютната тоталност на числата и наистина реципрочно, така че на всяко трансфинитно число да има една (γth) мощност“ в континуума (цит. по Jourdain 1915: 62-63). Всяко едно число и респективно всяко едно числово множество са така с необходимост „модификации“, по Кантор (цит. по Jourdain 1915: 77), на Абсолютния континуум. И като такива те имат своя мощност, свое определимо – в Абсолютния континуум – количество. А от своя страна Абсолютният континуум съдържа всяка една възможна определеност на величина или количество и със свойството да сегментира може и трябва да им даде точен и адекватен числов израз. Затова и Кантор определя основната характеристика на Абсолютния континуум като „съвършен“ – т.е. напълно нареден, в своята организация, и то като степени, като количествени модификации на последователно нарастване (което може да се вземе винаги в посока намаляване), и също така „навсякъде наситен (everywhere dense)“ и „свързан“ (цит. по Jourdain 1915: 72). Възникват въпросите как да се определят тези различни мощности и въобще мощностите, с които да се изрази Абсолютният континуум. Най-добре функциониращият механизъм за измеримост е въвеждането на 1:1 съответствие с множеството на естествените числа. Но тази измеримост обаче не може да „измери“ разгръщащите се същинско безкрайни множества.

От основните свойства на Абсолютния континуум следва, че навсякъде в Абсолютния континуум се съдържат трансфинитни числа: „следователно съществуват трансфинитни числа във всеки интервал на числовия континуум“ (цит. по Jourdain 1915: 37). Тези числа изразяват всъщност в своята степен и елементи тази пълна „наситеност“ на количеството в Абсолютния континуум. Оттук започват възможните полагания на числата – първоначално като се въведе специален индивид, съответстващ на всяко едно число: и това е точката, в геометричен смисъл. Тогава абсолютният континуум ще съдържа пълната наситеност на всички (възможни) точки. А всеки един сегмент от него ще е определено „множество от точки“ (point-aggregate). Така всяко едно число ще се изрази с дадена точка в континуума, което общо представя неговата количествен сегмент. А така и е вложено в една по-мощна конфигурация от точки, с определена наситеност и организация. Тогава на всяко едно число в континуума ще съответства определена точка. И респективно, на всяка една точка в континуума ще съответства едно определено и определимо количество в Абсолютния континуум. Това се изразява със следното аксиоматично положение: „на всички нумерични величини принадлежи определена точка“, като първоначално тази аксиома е формулирана за структурата и определянето на правата линия (Jourdain 1915: 29). Това ще постави и големият проблем за геометричното съответствие на числовите множества и геометричните формации изобщо, който ще даде сближаването на теория на числата и геометрията и ще има интересно решение, със следствията от което ще се занимаем по-детайлно. Ако всяко едно число можем да изразим и да конструираме така, тогава и на всяко едно число съответства определена точка в Абсолютния континуум, то тогава всяка една „числова величина“ (с термина на Вайерщрас, цит. по Jourdain 1915: 18), ще има своя сегмент, своя дистанция от и до тази точка в Абсолютния континуум. И тази дистанция, по съответстващите геометрични формации, ще изразява тази количествена величина и ще  уплътнява „протежението“ ѝ в континуума. Дали и така формулирано, това положение е основа за определяне на мощността на всяко едно число, на всяко едно числово множество в отношение спрямо Абсолютния континуум и спрямо останалите (възможни) формации и числови мощности в Абсолютния континуум. И ще поставим въпроса за геометричните и числови измерности на Абсолютния континуум.

Накрая изключително сериозните резултати на Кантор в обосноваването на новите трансфинитни числа и при въвеждането и дефинирането на абсолютния континуум на числата дават основа за нова организация на общата теория на числата, в една нейна генерална проекция. Това са и аксиоматичните положения, следващи въвеждането от Кантор и Дедекинд на Абсолютния континуум на числата.

I. Всяко число и числово множество имат определено количество, мощност, които се гарантират и осъществяват в и от Абсолютния континуум.

Затова и Абсолютният континуум е основа и елемент в производството на всяко число и числово множество.

II. Абсолютният континуум съдържа всички числа и всички числови множества. Той има своя конституция в типовете числа и в базовите числови множества.

Затова е изразим и изпълним чрез тях. Базовата му организация са необходимите в своя тип и в своята непосредственост редици от числови величини, така Абсолютният континуум се изгражда и организира през определени (безкрайни) числови множества.

III. Аксиомата на Вайерщрас, принципите на Кантор постановяват непосредствена връзка между числовите множества: „новите числа са множества на числата, предходно определени“ (цит. по Jourdain 1915: 19). Числовите множества, както и числата, произхождат едно от друго. Те организират последователни редици от определени мощности до завършения Абсолютен континуум.

IV. Всяко числово множество, както и всяко число, има своето завършване до изпълване на своето определено количество. Така числата и числовите множества, включително и Абсолютният континуум на числата, имат своите крайни и безкрайни моменти в своето изпълване, за да са числови количества изобщо.

Затова на всяко едно определено число или определено количество съответства в Абсолютния континуум една определена точка, с което то заема своя дял от Абсолютния континуум. Тази точка, или безкрайното приближение към нея, определят неговото количество. Което изразяваме с един числов тип (в Абсолютния континуум).

Затова и Абсолютният континуум има своя определена мощност, която е абсолютно тотална. Числовите множества, базови и конституиращи континуума, следователно трябва да имат основни етажи и величини, с които се реализират основните видове мощности на тоталния Абсолютен континуум.

Затова и цел на числата и числовите множества е изпълването на Абсолютния континуум и постигането на неговата непрекъсната, тотално интензифицирана абсолютна мощност.

 

III. Геометрично проектиране на континуума

За моделирането на числовите множества са оказват подходящи „геометрични идеи и геометрични нагледи“ (Dedekind 2007а: 2). Филип Джордан подчертава, че представянето на числата с геометрични нагледи е основен подход в математиката от модерните времена, още от Нютон, според когото всяко число има „геометрична основа“,  като разбира се, стремежът на новите математици е да изразят природата на числото с математически и логически средства (Jourdain 1915: 14-15). Но геометричното моделиране на числовите множества дава изключително интересни резултати, особено що се касае за числовото количество на познатите множества и за тяхното взаимно отношение. Именно така Р. Дедекинд обосновава ирационалните числа, а неговият резултат се свързва с въвеждането от Кантор на безкрайните числа и с тяхното отношение към множеството на естествените, рационалните и ирационалните числа. Знаем това отношение като Хипотезата за континуума на Кантор (вж. Кръстева 2018).

Позицията на ирационалните числа е особено важна за математиката, тъй като тяхното множество предлага числа с безкраен елемент в своя строеж. Както посочва Ф. Джордан, при обяснението на същността на ирационалните числа математиците дефинират „едно ирационално число като лимит на всички останали числа“ (Jourdain 1915: 15). Но както е и лимит, т.е. то по някакъв начин трябва да завърши като последен елемент множеството на естествените числа N и множеството на рационалните числа Q, така и то трябва да осигури непрекъснатостта на числовата редица. Тъй като се предполага, че ирационалните числа I запълват отворилите се празноти (gaps) между N и Q числата. Според Дедекинд само ирационалните числа са основата на операцията степенуване, т.е. едно по-сложно и n-кратно надграждащо (или разделящо) отношение на числата (Dedekind 2007а: 5). Основанието чрез ирационалните числа да се придобие един още „по-съвършен инструмент“ (Dedekind 2007а: 1) и на всичко отгоре той да е тъкмо първият инструмент за изразяване на непрекъснатостта в числовия домейн, обосновава на Дедекинд освен „схващането на рационалните количествени отношения“ чрез целия спектър на ирационалните числа „алгебрични, също така и трансцендентни“ да се осигурят „смисловите стъпки човек да напредне в създаването на чистия непрекъснат домейн на числата“ (Dedekind 2007б: 17). Тогава множеството на ирационалните числа  I придобива изключително значение на множество с особено отношение към конституирането на континуума и на неговото същностно свойство да е непрекъснат.

Дедекинд обсъжда същността на непрекъснатостта, като я вижда в липсата на празнини (gaps) в следването и позициите на числата. Също така важен белег на непрекъснатостта е възможността да се обхванат всички числа от съответното множество и никъде да не се намери празнина в насищането с числа. Важен белег тогава е както да няма празнини, така и да няма една последна крайна точка-лимит. Според Дедекинд тази структура на непрекъснатостта трябва и да осигури ред, подреждане във вътрешния ход на числата, както е всъщност характерно за тяхната количествена природа.

Вижда се колко, дори противоположни характеристики, трябва да обеме непрекъснатостта, затова и тя ще изисква въвеждането на нов инструмент, т.е. нов вид числа, които да носят и да изпълняват тези характеристики, в двойния характер и на крайното, и на безкрайното. Каквато обаче е логическата природа на всяко едно определено количество.

Вижда се и как моделирането по този начин на числата, изхождайки от N и Q, като базови числови множества, изисква определени позиции на числата. А отдолу се появява структура, която трябва да поддържа тези позиции и да отчита как те се отнасят една спрямо друга и как те осигуряват реда на числата, по нарастване или намаляване. Според Дедекинд моделирането на N и Q числови множества и оттам на всички реални числа може да бъде развито ясно и пълно само със средствата на геометричната измерност. Това е тъкмо организацията, която осигурява непрекъснатостта. И това е правата линия: „домейнът на числата да добие същата завършеност (completeness) и същата непрекъснатост (continuity) като на правата линия“ (Dedekind 2007а: 4). Правата линия е този първи непрекъснат домейн от съставните си елементи – точките, който има безкрайно количество и природа на непрекъснато измерение от тези безкрайно много точки: „Ние приписваме на правата линия завършеност, отсъствие на празнини (gaps), или непрекъснатост“ (Dedekind 2007а: 5). Следователно правата линия е измерна структура, която има, държи позиции за точки, които са непрекъснати, без пролуки между позициите, и без една последна позиция. Как обаче познатите числови множества могат да се нанесат върху правата? И как да се отчетат позициите на ирационалните числа върху нея?

Дедекинд предлага проектиране, изобразяване на числовото множество на рационалните числа Q, което той приема за предходното спрямо множеството на ирационалните числа I и за това, чрез което да се дефинира I множеството (Dedekind 2007а: 5) „напълно да дефинираме ирационалните числа със средствата единствено на рационалните числа“, върху правата L: „сравнение на всички рационални числа с точките на правата линия“ (Dedekind 2007а: 3). На всяко едно рационално число кореспондира „една и само една точка-индивид (point-individual) от L“ (Dedekind 2007а: 4). Но тогава се открива, че между всеки две рационални числа се отварят празнини, които са непопълнени позиции с числови индивиди. Те дават прекъсване в континуитета на правата линия. Остават незаети с числа позиции: „От най-голяма важност е фактът, че на правата L има безкрайно много точки, които не съответстват на рационално число“ (Dedekind 2007а: 4). За „запълването“ на тези празнини трябва създаването на „нови точки-индивиди, което ще осигури непрекъснатостта на правата“ (Dedekind 2007а: 6). Това с необходимост са нови числа, заемащи празните позиции върху L: „правата L е безкрайно много по-богата на точки-индивиди, отколкото домейнът Q на рационалните числа“ (Dedekind 2007а: 4). Запълването на правата до непрекъснатостта ѝ, без свободни позиции върху нейното тяло, се дава според Дедекинд от ирационалните числа. По този начин целият числов домейн на правата, т.е. всичките ѝ точки, се образуват от двете числови множества на рационалните числа Q и на ирационалните числа I. А те в своето обединение съставят множеството на реалните числа: „всички реални числа, т.е. всички рационални и всички ирационални числа“ (Dedekind 2007а: 7). Тогава множеството на всички реални числа R се състои от R= Q+I. А множеството на всички реални числа съответства на всички точки на правата линия. Само една вметка, ако знаем мощността на множеството на рационалните числа Q и на множеството на ирационалните числа I, ще можем да дадем мощността на цялото числово множество на реалните числа, както са проектирани върху правата линия. При сравняване на мощностите при Кантор: обединение на две числови множества в числов израз е равно на сбора от мощностите им (Cantor 1915: 91). А множеството на реалните числа се конституира от двете числови множества: на всички рационални и всички ирационални числа.

Дедекинд моделира поставянето на ирационалните числа извън рационалните числа така: ако вземем което и да е друго – ирационално число, и спрямо една т. О определим неговото разстояние и го нанесем върху L, то „ще открием, че крайната точка не съвпада с никое рационално число“ (Dedekind 2007а: 5). На тази нова точка, като определена позиция върху L, трябва да съответства ново число, число, което е извън множеството на рационалните числа.

Между всеки две рационални числа „има безкрайно много различни числа, лежащи между тях“ (Dedekind 2007а: 3).

За генериране на непрекъснатостта на точките върху правата L Дедекинд предлага едно ново средство: т.нар. от него „срез“ (cut), Shnitt (Dedekind 2007а: 6). Това е акт на „разполовяване“ на множеството на всички точки върху правата в точно два класа. Срезът на L се образува спрямо една и само една точка, именно чиято позиция формира двата класа. Това са също така и два безкрайни интервала от L, които спрямо т. А текат в двете различни посоки (directions) на правата (Dedekind 2007а: 3). Чрез среза Дедекинд формулира същността на непрекъснатостта: „Ако всички точки от правата линия попаднат в два класа, такива че всяка точка от първия клас лежи от ляво на всяка точка от втория клас, тогава съществува една и само една точка, която продуцира това деление а всички точки в два класа, това разполовяване на правата линия в две части (portions)“ (Dedekind 2007а: 5). Спрямо точка А срезът се означава като (А1, А2), като А1 и А2 са двата класа.

Спрямо т. А, която е част от правата, са разделени и спрегнати всички точки от правата. Същевременно те са строго разделени по посоката, по хода на правата и могат да бъдат сравнявани по своите позиции от първия и втория клас и обратно. Нещо повече, т. А дефинира непрекъснатостта, тъй като е демонстрирано, че не е последна точка, а след нея има поне още една точка, което е посочено от Д. Хилберт в Архимедовата дефиниция на непрекъснатостта (вж. Hilbert 1950: 15).

Ако сега на мястото на т. А се положи което и да е рационално число, тя чрез своя срез ще определи всички точки по L. Тези точки обаче са също други рационални числа. Дедекинд изследва и дефинира важното свойство на среза (А1, А2), ако той се положи върху L, на която са нанесени всички рационални числа, в тяхната редица, т.е. като последователни, че спрямо т. А веднага се разполага количественото отношение: всяка точка от А1 е по-малка от А2, или срезът е продуциран от „най-голямото и най-малкото рационално число“ (Dedekind 2007а: 6), които са съответно последното число от А1 и първото от А2. По този начин има ред на непрекъснато напредване, демонстрирано от двата класа, а така и за всички рационални числа, което е основна количествена характеристика на числовото множество Q, а и на всяко едно числово множество, взето в неговата базово формиране като естествена редица на нарастване на числата (не само на N – множеството на естествените числа). Така за всяка една точка от А1 ще има съответна по-голяма в А2, което демонстрира непрекъснатостта, спрямо точка А.

След като спрямо числото, съответстващо на точка А, имаме формиран срез на L, то такъв срез ще се формира и за всяко едно друго рационално число. И този срез ще гарантира непрекъснатост за L за тези числа. Но, както констатира Дедекинд, „съществуват безкрайно много срезове не продуцирани от рационални числа“ (Dedekind 2007а: 6). Всяка точка, обаче, от правата L генерира такъв срез. Тогава, постулира Дедекинд, „на всеки един определен срез съответства едно определено рационално или ирационално число“ (Dedekind 2007а: 7). Затова за точките, на чиито срезове не съответстват рационални числа, се „създава ново ирационално число α“, което „продуцира този срез“ (Dedekind 2007а: 7). По този начин са въведени всички ирационални числа, организирани в последователна редица. По-точно като разполовени в два класа за всички останали ирационални числа като винаги първият клас ирационални числа са по-малки от тези във втория клас.