Числови множества и Абсолютният континуум на числата. Част 2

 

Силвия Владимирова Кръстева

Дедекинд дори прилага техниката на среза върху отношението на две ирационални числа α и β, като различава случаите: α = β, в съответствие на всички точки от двата класа; α < β, което поставя целият първи срез спрямо α като в по-голямата си част по-малък от втория клас. И третият случай, в който отношението може да се обърне, но тогава β < α, и повечето числа на β ще са по-малки от тези в среза на α.

Всъщност, ако разгледаме техниката на среза на правата L, и вземем две точки, които са рационални (или естествени числа), ще трябва да приложим разполовяването безброй пъти, каквато е техниката на апорията на Зенон, наречена дихотомия. За да се придвижим от точка А до точка В, трябва да стигнем средата на разстоянието АВ, после до новата среда и т.н., което е деление безкрай на брой пъти. Зенон заключава за абсолютната невъзможност на движението. Но това, което е видял Р. Дедекинд, е, че дори и направено безкрай пъти, в основата на всяко разполовяване има една определена точка от разстоянието между А и В. А самото разполовяване удържа цялата съвкупност от точки на АВ, генерирайки следваща и следваща точка по дистанцията. Също така остават още точки след тази разполовяваща точка, което гарантира непрекъснатостта. А покриването на разстоянието все пак напредва, т.е. количеството на дистанцията се увеличава, макар и изключително бавно и с безкрайно малък растеж. Специалното на техниката на Дедекинд е, че той я разпростира по всички точки на правата, което я прави работеща с безкрайното количество точки върху правата. И демонстрира аранжирането на тези точки в реда на числата. Според Дедекинд техниката на среза и продуцирането на непрекъснатостта на L до ирационални точки-числа осигурява базата за „подредено (orderly) аранжиране на всички реални, т.е. на всички рационални и всички ирационални числа“ (Dedekind 2007а: 7), като непрекъснат домейн на правата линия.

Това поставя обаче всяко едно число в едно ново отношение спрямо правата, като един добре-нареден негов числов домейн. Всяко едно число „управлява“ всички останали числа в домейна, поставяйки ги в количествени отношения на нарастване, на ординалност. Всяко число е възможно благодарение на реда на всички преди него, но има свой край, определеност и включва в своята определеност, дори и строеж, и всички, които остават след него. Именно затова, дори и крайно, всяко едно число работи с цялата безкрайна поредица на своя числов домейн в целия универсум.

Дедекинд въвежда инструментът „всички възможни срезове между а и b“ върху правата (Dedekind 2007). Срезовете достигат до все по-дълбоки точки между две рационални числа в това последователно „разполовяване“ на правата в безкрайността от нейни точки. Вайерщрас обаче разглежда тези точки като дадени в комплексната равнина и така дефинира домейни или части от домейни на равнината с безкрайно много точки (Jourdain 1915: 13-14). Този процес цели достигането на „една единствена точка“, последната възможна, която е тъкмо „точката на кондензация“ (Jourdain 1915: 15, 21).

С това възниква въпросът, ако между две рационални числа започват да се продуцират последователни срезове, ще се стигне до все по-дълбоки точки на правата, които по Дедекинд трябва да са ирационални числа. Можем ли да стигнем до една максимално дълбока точка и да я обявим за последната точка на нашия дълбочинен срез. Чрез последователните срезове би следвало да достигаме до все по-наситени, сближени точки по тялото на правата, които все по-плътно попълват празните позиции на правата линия. Същевременно срезовете запазват растежа на числата, тогава не следва ли наистина тази последна точка, като „точката на кондензация“ да е наистина точката, разполовяваща разстоянието между а и b и съответно гарантираща, че дистанцията между тях се е запълнила във всички позиции на правата L между α и β. Този интересен случай заслужава внимание, тъй като остава да се демонстрира, че чрез среза за запълнени всички точки, т.е. достигнато е до всяка една точка по правата L и всички нейни позиции са запълнени. Отново – повтарянето на среза от едно рационална число до друго трябва да се осъществи „безкрайно много пъти“, тъй като толкова са точките на насищане, незапълнени между всеки две последователни рационални числа. Тук може да видим двете рационални числа именно като последователни в точното следване на тяхната редица, като базово подредено числово множество. Тогава този брой на повторение на среза трябва да има също своя мощност. Което ще е мощността на ирационалните числа в един определен сукцесивен интервал, едно деление, срез, но по базовата подреденост на рационалните числа. Това ще гарантира, че и тези ирационални числа ще бъдат наредени, което се гарантира от среза на Дедекинд. Тогава ще имаме една генериране на мощността на ирационалните числа до запълване на правата, което е с определена безкрайна мощност. Защото срезовете в дълбочина ще се повторят безкрайно число, толкова, колкото са ирационалните числа между двете рационални. Срезът на Дедекинд гарантира изчерпване на последователните срезове до последната точка – трябва да има такава, която е ирационално число и стои между а и b, тъй като всички Q-числа и всички-I числа съставляват всички R-числа = на всички точки на правата L. Ето как количеството числа, взети кардинално като мощност на правата, може да се изчисли в безкраен брой пъти повторение на Дедекиндовия срез и в безкрайния брой на Q-числата в тяхното тотално количество по правата L, т.е. в мощността на множеството на рационалните числа. Това изчисление се води от три основни положения: че 1. Q и I-числата съставляват R-множеството (множеството на реалните числа), а 2. мощността на R съответства точно на броя точки по правата L. 3. Само Q и I-числата са тези, които запълват и завършват правата L. Тогава мощността на R, равна на мощността на линеарния континуум (L като съответен числов домейн), ще се състави точно от мощността на Q и от мощността на I.

Изводи от трета част:

1. Първото непрекъснато числово множество е това на ирационалните числа, демонстрирано от Дедекинд чрез съответствието с правата линия, като линеарен континуум. Тук трябва да се разграничи участието на алгебричните ирационални и на  трансценденталните ирационални числа. Но и ирационалните числа са първите числа с истински безкраен елемент, така че те естествено се демонстрират като непрекъснат домейн, което затвърждава ролята на безкрайните числа и безкрайното количество най-общо за придобиването и за изразяването в математически отношения на непрекъснати домейни.

2. Дедекинд постулира една изключително важна връзка на двете числови множества на Q-числата и на I-числата. Те заедно съставят R – множеството на реалните числа. Същевременно Q и I-числата се оказват взаимно продуктивни в своите свойства да запълват линеарния континуум. Демонстрирано е произлизане на едно множество – R от предхождащите го. С което се установява реално отношение на произвеждане между базовите числови множества.

3. Демонстрирано е съответствие, което води до изключителни резултати за отношението между числовите множества, също така между базовите геометрични формации и числовите множества. Структурата и реда на геометричната формация съответства на структурата и реда на числовото множество. Което поставя също в необходимо съответствие геометричните елементи: точка, права, равнина, пространство и съответното им числово множество. Дедекинд реализира това съответствие за правата линия L. Но остава въпроса за моделите на другите геометрични формации и съответстващите им числови множества. Така всяко едно числово множество може да бъде разгледано като автономна и вътрешно специфична организация и структура, като „тяло от числа (Zahlkörper)“ (Dedekind 2007а: 2), което в тази своя структура, ред и завършване по базовите геометрични формации притежава определена мощност и осигурява тази мощност като определен тип топология на абсолютния континуум.

 

IV. Дълбока геометрия на правата линия

В производството на непрекъснатостта на линеарния континуум L при Дедекинд има една съществена предзададеност. Това е приемането на правата L като дадена, изпълнена в своята континуална природа. Тъкмо затова обаче възниква интересният въпрос кое гарантира непрекъснатостта на самата права, кое дава нейната характеристика да е непрекъсната и как, разбира се, ще демонстрираме, че върху съответната конституция на правата са попълнени всички позиции на точки, съответстващи на ирационалните числа. Точно това е провокиращото питане: как изобщо правата се организира, или е приета аксиоматично като организация от съответните елементи, като една геометрична формация? Това е въпрос за дълбоката, вътрешна конституция на правата. Отиваме отвъд постулирането на правата линия като дадено и очевидно геометрично построение и ще търсим процеса и елементите на нейното дълбинно съставяне и впоследствие аксиоматична процесуална направа до завършено геометрично построение.

Именно защото навлиза като стремеж и изследване на дълбинното ѝ конституиране, този генезис ще бъде означен като дълбока геометрия на правата. Терминът вече заема една нова област в информационните науки, която изследва геометрията на съответствие на структурите при огромните масиви от данни в neural networks. По-точното название на това направление е „геометрия на дълбокото учене“, като изследване върху фигурите и елементите в „n-измерните пространства“ (Bronstein et al. 2021: 2) и тяхното структуриране. В тази област има огромна нужда от нови инструменти и от извличане на нови структури и тяхното операционализиране и изследване. Основно, дълбоката геометрия се основава на характеристиките на симетрията и инвариантите (Bronstein et al. 2021: 1), като броя на трансформациите и повторенията. Основни елементи като геометрични конституенти са точките в едно n-измерно векторно пространство, чрез които се обозначават отделните атоми на информацията и връзките между тези точки като графи, мрежи и т.н. (Bronstein et al. 2021: 2, 9). Това опиране до основните конституенти на едно n-мерно пространство отваря проблеми, които насочват авторите към измерността и общата геометрия на Евклидовото пространство отвъд неговия „монопол“ към „неевклидовите геометрии“  (Bronstein et al. 2021: 1). Тази необходимост от изучаване авторите виждат в Ерлагенската програма на Феликс Клайн, обявена в неговите лекции и станала емблематична за новото основополагане и изучаване на фигурите и пространствата в модерната геометрия (Bronstein et al. 2021: 1-2). Проекцията към n-мерния континуум е заложена още в изследванията на Г. Кантор, който доказва възможността едно-измерния континуум да е равен на континуума с n-измерения (Jourdain 1915: 41-42), както и възможността за отношения между различни състояния на континуума, като „континуум… съставен от много отделни континууми“ (Jourdain 1915: 72-73). Но дълбоката геометрия отива към същинската „безкрайна измерност“, която няма как да се овладее до „ниско-измерното пространство“, защото се губи огромна информация, огромно повторение и запазване на данни от „високо-измерното пространство“ (Bronstein et al. 2021: 8-9, 10). Ето защо въпросът за измерността и нейното операционализиране остава изключително актуален.

Основната аксиоматична характеристика на правата е, че тя е непрекъсната геометрична формация и е съставена от „безкрайно много точки“ (Hilbert 1950; Dedekind 2007a). Но това полага върху правата едно предзададено и неопределено количество от съставни елементи, което, разбира се, веднага предпоставя като основен съставящ елемент на правата – точката. Познатата аксиоматика, която свързва определена точка и правата, е, че са достатъчни две точки, за да определим една права линия. Но тя трябва да е вече готова в своята цялост, за да премине през тях. Това общо поставяне на неопределена безкрайност се счита за достатъчно, за да обоснове непрекъснатата природа на правата. Но ако навлезем към самото тяло на правата линия, ние трябва да започнем да отличаваме отделните ѝ съставки и да определим начина на тяхното организиране. Ще възникне и въпросът, а кои са пределите на правата линия: къде тя „изчезва“, къде губи непрекъснатостта си. Този вътрешен предел трябва да е отправна точка за дълбоката ѝ геометрия. Все едно сме взели на „зуум“ собственото ѝ конфигуриране и ще открием къде свършва нейното тяло-измерение и, обратното, кое гарантира, че правата ще продължи непрекъснато, без празнини (gaps), както я дава Дедекинд, и ще се съхрани живият „поток“, ход, „протичане“, тъкмо в собствената ѝ вътрешна организация. А ходът на правата обхваща всички нейни точки, както видяхме в дефиницията за непрекъснатостта на Дедекинд. Както и за да е непрекъсната, не трябва да има празнини. Но нека кажем веднага, това означава, че до всяка една точка на правата трябва непосредствено да бъде попълнена друга, която е следващата и така без никакъв пропуск. Ето тази дълбока, отблизо „хваната“ геометрия на правата линия истински задължава нейната непрекъснатост да тече и да конструира цялото ѝ тяло.

Нека най-напред да погледнем към традиционното дефиниране на правата още от Евклид и да видим произхода на елементите, които той ѝ постановява. Още в Права книга в първите дефиниции Евклид полага като основен елемент точката (видяхме, че това се отразява и в дефиницията на числото): „Точката е онова, което няма части“ (1 дефиниция) (Euclid 2008: 6). Тази дефиниция сякаш отнема количеството, абстрахира го от този начален елемент и го полага като нещо неделимо и просто. Но с това наистина точката е нещо само без количественост, макар и да е най-простият елемент за образуване на количеството и на разстоянието и измерването. Защото точката е по Евклид основен определител на правата линия (2 дефиниция): „И линия е дължина без ширина“, а „Екстремумите (extremities) на една линия са точки“ (3 дефиниция) (Euclid 2008: 6). Тук преводът на περατα е ексремум, граница, но и край, предел, в мн.ч. краища, предели. Ако разчленим линията по Евклид, трябва да получим точките. Макар отново онова обтягане на продължението между тях да е самата „дължина“, разстоянието. Защото вече правата линия се дефинира като такова разстояние. Тя е вид линия, която „лежи с равномерни точки по себе си“ (Euclid 2008: 6). Тази равномерност според Евклид гарантира правата линия, което ѝ дава топология в пространството, за да не се получи крива линия. Тук определено дефиницията на правата като най-малкото разстояние между две точки е по-съществената характеристика и черта на една линия да е права (от значение в топологията ѝ е и ъгълът, който сключва нейната протяжност спрямо възможното отклонение като крива). Възможността на правата да тече безкрайно през пространството се дефинира от първите положения на Евклид и това е обяснимо, тъй като той основно използва определени фигури и особено разстоянията (особено при изобразяването на числото в Книга седма – като отсечки с мяра една спрямо друга, вж. Euclid 2008: 194-195). Безкрайността на правата линия е постулирана от последната му 23 дефиниция, прословутата дефиниция за двете успоредни прави, които нямат обща точка в „своето безкрайно продължение“ (Euclid 2008: 6). Евклидовото пространство от Елементи все още не борави с безкрайността, включително и в полагането на базовите фигури – равнината и тялото, те са приведени към конкретни и крайно построими фигури и отношения.

Но как се обосновава самият базисен елемент, въведен от Евклид – точката. Онова, което е неделимо (атомон), привлича вниманието на други древногръцки философи, особено в изключителния му статут на граница, но и на елемент, който формира количеството, също така формира особената природа на пространството и времето. Зенон Елейски, известен със своите апории, една от които приведохме, изследва парадоксалната природа на величината, на количеството въобще, въведено спрямо „съществуващите неща“, като полага сред нещата, които са извън тези съществуващи неща, специални количествени реалии, които могат да се изменят количествено: „от останалите неща някои, а именно повърхността и линията ще се увеличават, ако им се прибави по един начин, или пък никак няма да се увеличават, ако им се прибави по друг начин“, както го предава Аристотел (Аристотел 1994: 134). Но основно тук е дефинирането на точката: „точката и единицата обаче не могат да се увеличават по никакъв начин“ (Аристотел 1994: 135). Точката като предел е на предела на количеството и реално е така сама по себе си без-количествена. Даже, Зенон построява своето доказателство на парадоксалността на количеството като „множество единици“, твърдейки, че „същото въобще няма единици“ (Антична философия. Антология 1994: 135). На единицата противостои цялото „възможно“ количество, взето тъкмо в своята възможност: като не-количествено. Затова според Зенон  срещу единицата в количеството трябва да застане цялото пълно, завършено множество от единици, всички единици: „необходимо е съществуването на много единици, от които е съставено множеството“ (Антична философия. Антология 1994: 135). С поставянето, формирането на единицата от неопределената основа на общата количественост следва проектирането на цялото множество единици, като една завършена тоталност. В това се състои парадокса на количеството, според Зенон, като съставено от „ограничено и безгранично“ (Антична философия. Антология 1994: 135). Това означава, че и самата единица, точката в геометричен план се нуждае от собствен механизъм на възникване, на производство. А от полагането на точката трябва да следват модификациите на всичките единици, организирани в структурите и хода на цялата обща количественост, и също така пространственост и измерност. Природата на количеството винаги с необходимост изисква и полага „всички единици“ като свой предел и максимум.

Единицата трябва да произлиза от и срещу общата неопределеност, „краят“ на единицата е тази не-количествена обща неопределеност, която именно тя със своето полагане активизира и определя, издигайки я до множественост, а така и залагайки принципа на определеното количество, включително до неговия абсолютен обхват. Така се обхващат елементите и целият порядък на количественото, на неговите начални елементи и пълен потенциал за разгръщане.

Ще използваме тази парадоксална природа на точката и на цялата количественост, основана върху нея, за да разгледаме една начална възможност на правата линия. Това ще е демонстрация на непрекъснатостта на правата линия в дълбоката ѝ геометрия като конституция на нейните точки. Дефинираме точката по Евклид като неделима и екстремум на правата, но и по Зенон: като онова, което няма количественост и не може да се променя, каквото и количество да присъединим към него. Доказателството е в своя първи, най-общо оформен вариант.

Нека върху правата L да вземем две точки а и b. По Дедекинд те могат да имат следните отношения (Dedekind 2007a: 3):

1. а < b

2. а > b

2. а = b.

Разглеждаме случая, в който не е възможно нито 1., нито 2. Тогава ще приемем, че а = b.

Тъй като а и b са дефинирани като точки, и по Зенон, това е случаят, в който каквото и да прибавим към а, тя не се променя, остава равна на b.

Ако вземем следващата точка а₁, спрямо добавянето ѝ към разстоянието извън а и b, ще е също равна на b. Или а + а₁ остава равно на b, като количество на а и b.

Можем да прибавяме и а₁, а₂, те отново върху L не изменят а = b.

Тогава а + (а₁, … а_n) също е равно на b, или ще имаме а + [∞]= b.

Цялата безкрайности между а и b не променя тяхното равенство, не ги изменя, безкрайността между а и b е изчерпана, също така може да я абстрахираме от тяхното отнасяне една към друга. Ако а беше една точка, то тя остава срещу цялата безкрайност, определена, спрегната към нея, т.е. срещу всички други точки по L и срещу всяка една точка от L. Но по условие точка а е различна от точка b, тогава а и b са една спрямо друга срещу цялата безкрайност от останали точки. Точките а и b се оказват в чиста позиция спрямо цялото неопределено количество от останалите точки върху L. Тогава а и b трябва с необходимост да са една до друга, без каквато и да е друга точка между тях, всички останали точки извън а и b влизат в отделното, изолирано безкрайно количество от тези останали точки от цялата конституция на L. Имаме а непосредствено до b и срещу + ∞ и - ∞, по възможните посоки на L. Не остава възможност за каквато и да е друга точка да взаимодейства с а и b и непосредствено „между“ тях. Основанието на това е и отрицателно: а отрича всяка друга единица, т.е. цялата безкрайност, от която полагаме само една единствена точка b, което също спряга и измества, отстранява цялата безкрайност. Но спрямо а. С това необходимо те са една спрямо друга единствените точки. Следователно те са непосредствено една до друга в отнасянето си по правата L. Според парадоксалния принцип на Парменид за битието: „то не се нуждае от нищо друго, защото иначе би се нуждаело от всичко“ (Антология 1994: 134).

Ако отстраним в това отношение на а спрямо цялата безкрайност от точки на L точката b, правата не може да протече и ще имаме празнина в нейната непрекъснатост. Това е четвърти парадоксален случай, спрямо трите възможни, в които а и b са непосредствено дадени върху цялата спрегната безкрайност от точки върху правата L. Така всяка една такава конфигурация от две точки е база за произвеждане на цялата права линия L.  

Двете така конструирани точки точка а и точка b не са просто двете точки, които да демонстрират една права, макар така да остават в това фундаментално отношение, което гарантира непрекъснатата природа в тялото на правата. Те се демонстрират като конституент на правата – всяка следваща точка трябва да се подчинява на техните зададени параметри за тялото на правата. Всека следваща точка, а и всяка една точка от правата дефинира и се дефинира върху цялата безкрайност от всички точки на правата. Те двете организират и подвеждат хода на правата една до друга, разделяйки я в течение-ход в две посоки, които насищат безкрайно следващите точки. Получаваме конституиращата фигура-елемент на правата L: двете точки една до друга, от които се простира ходът на правата до безкрайност: ∞[а:b]∞. Един тотален и първо конституиращ срез на цялата права линия L. Като две непосредствени граници, екстремуми на класа: (∞, а)(b, ∞). Дедекиндовият срез се реализира в два класа, този път дефиниран от непосредствени точки, една до друга, стоящи две точки а и b, без никоя друга точка от L (и от целия континуум) помежду им. С необходимост а и b обаче са безкрайно ориентирани точки, а това демонстрира положението на Дедекинд, че ирационалните числа са определени числа, извън рационалните, които изцяло и напълно насищат правата L:

а + цялата ∞ преди а;

b + цялата ∞ след b;                                                                                           

∞ а и b ∞ изпълват цялата права L, без нищо друго останало.

Следователно, а е непосредствено до b върху цялата права L и в отношение спрямо всички останали точки на L. Между тях на остава нищо друго, като точка от L, но те са върху правата и нейното непрекъснато тяло. Точките а и b разделят цялата права на точно два класа. С необходимост точка а е непосредствено до точка b.

 

Начална аксиоматика на правата

Това са изходните положения, които ще позволят правата да бъде конституирана като линеарен континуум. На първо място правата L, както я означава Дедекинд, представлява „безкрайно множество от точки“. С това тя е положена като безкрайна формация от елементи, която да „формира непрекъсната линия“ (Jourdain 1915: 34), която касае, както Ф. Джордан въвежда теорията на „множеството от точки“ в един непрекъснат интервал и неговата наситеност с точки, като „навсякъде наситен (everywhere dense)“, а оттук и въпросът за „разпределението на сингуларностите“ (Jourdain 1915: 33-34). Но не всяка съвкупност от точки се „подрежда“ като права линия, както още Евклид задава нейното структуриране. Безкрайността от точки на правата L дават нейното общо количество. Ако ги разгледаме като едно безкрайно числово множество, това ще е неговата мощност и тя без съмнение е безкрайна. Безкрайността, както вече посочихме, гарантира „продължаването“ на правата в пространството, по Евклид.

В стоежа на правата има необходима секвенция от тези точки, както Хилберт я дефинира: правата е „последователността“ на тези точки“ (Hilbert 1950: 17). С това тя притежава собствена структура, осигуряваща това „продължение“ на правата в континуума. Секвенцията от точки прави правата да „тече“. Следователно, в съставянето на цялата права линия трябва да присъства елемент, който осигурява тази специална „верига от точки“. А това ще даде и „посока“ на правата, както я определя спрямо избраните точки Дедекинд, и още движение, и процесуалност. А това определя и нейното базово число като процесуално и безкрайно.

Правата трябва да бъде съставена чрез точките като „средство“ и това е според Хилберт нейната базова „геометрия“ (Hilbert 1950: 80) и съставянето ѝ ще е „асемблиране на точки“ (Hilbert 1950: 83). Но към това асемблиране трябва също да се поставят граничните условия, за да имаме развита конструкция от точки. И тази основна конструкция надхвърля само точките като съставни елементи, а изисква елементи, които организират и гарантират хода ѝ през континуума. Това са и нейните ограничения, ето защо само отчетливите и прекъснати единици са други точки-индивиди, представени с множествата N – на естествените числа и Q – на рационалните числа. Тази редовост и на ирационалните числа също съответства на конституцията и хода на правата. Ето как и специфичните ѝ точки-индивиди в нейния ход изискват ирационални числа, като процесуални и частично  безкрайни числа. Частично, тъй като имат своя цяла част винаги съобразно някакво крайно число.

Към така обоснованата и необходима полагаща се конструкция от точки, съставящи правата, трябва да се предяви изискването за непрекъснатост и следване. А това означава, че точките, съставящи тялото на правата, трябва да се следват непосредствено една след друга. Тези техни позиции трябва да се осигурят от конкретното тяло на правата. Както и от непосредствения начин на запълване и свързване на тези точки. Тази конструкция предявява изисквания и към общото измерение, по което се разгъва правата в своето протичане, което трябва да е съизмеримо с трите измерения. Както ще видим след малко, Д. Хилберт точно дефинира това отношение между геометричните измерения, тъкмо спрямо организацията на точките като съставни елементи.

Следването на точките по правата и за да я изпълнят, предполага и оформянето на най-малкото възможно свързване на точките, което е основен елемент за съставянето на правата линия. Такова обособяване и свързване на точки върху правата се дефинира от Хилберт като „сегмент“: „системата от две точки А и В, лежащи върху правата“ (Hilbert 1950: 4). Тогава трябва да се определи най-малкият конструктивен сегмент в съставянето на правата линия.

Към този сегмент, дефиниран като „разстояние“, трябва да се постулира ориентацията на секвенцията от точки спрямо континуума в една обща координация, т.е. кое гарантира, че образуваната линия ще е „права“. Което изисква общ „изглед“ върху правата. Това ще изисква включването на правата във взаимодействие с други прави линии (което обаче е извън правата, в равнината), които, пресичайки я, не трябва повече да се пресичат с нея където и да е в пространството. Коректив е и формирането на едно по-голямо разстояние, като сегмент за коригиране и отчитане: което да свързва тези точки с най-късото възможно разстояние, това обаче отново изисква отношение на правата спрямо други точки и прави вече в равнината. Защото кривата линия също ще бъде съставена от точки, но нейната директория се „огъва“ по обиколката на произволна окръжност, а точките ѝ лежат на радиуса на тази окръжност. Или можем да приемем, че базовата, първична подредба на точки като първи точков континуум е винаги в тази чиста точка до точна позиция, която е правата линия, тъй като все още няма околна равнина и съответно елементи и фигури, излизащи извън първичната права. Именно като едно нулево измерение на самата права линия, което я проектира непосредствено и което, обратно, се изразява само по един единствен начин, като прост ход и следване на първичното полагане на правата линия. Тъй като за да се удостовери и образува ъгълът при Евклид, са необходими вече две прави. Затова лесно впоследствие, след образуването ѝ ще отчетем дали линията е права, или крива – като тя остава права, ако през две нейни произволни точки прокараме успоредни по условие прави и установим дали те се пресичат в равнината. Ако е права, тези прави, като сключили всяка същия непроменен ъгъл с дадената права, не трябва да имат обща точка. Ако ъглите останат същите, но двете прави имат обща точка, това означава, че формацията не е права линия, а е крива. Това означава, че самата ориентация на формацията в общия континуум също е част от геометрията на фигурите.

Но ако се поддържа това равномерно закривяване на съставянето на правата, ще получим идеалната завършена линия – т.е. кръгът. Затова очевидно посоката определя линията, посоката: проектирана спрямо континуума. Така ако правата се проектира спрямо една и само една имагинерна друга точка в безкрайността и всяка точка от правата се определя чрез себе си и спрямо тази имагинерна точка – ще имаме и права линия. Т.е. тук проектираме цялата права още отнапред и спрямо нейното цялостно протичане в континуума. Ако имагинерната точка на проектиране се сменя спрямо следващата точка или спрямо някакъв група от последователни точки, т.е. сегмент, ще имаме не-права линия. Ако тези точки са последователни и равномерно водени от еднакво отстояща точка: като хорда на една окръжност, или като нейни радиуси, ще имаме идеална крива до нейното затваряне. Ако има различни сегменти, водени така спрямо различни точки, с отношение към евентуална друга точка, която е център на окръжност, после следваща и т.н., ще имаме произволна крива.

 

Елементи на правата линия

/като първата чиста непрекъсната фигура/

Елементите на правата линия извеждат нейния градеж спрямо същинското ѝ начеване и разгъване в общия геометричен континуум. Затова те не полагат точки единствено като съставка правата, а разглобяват правата до дълбока геометрия, с която да се даде нейната вътрешна структура – секвенционалната организация в геометричния континуум. И така като права линия, дефинирайки така първичната права линия.

Начална континуалност. Това е цялото начално общо състояние и „вместимост“ на континуума, който е условието за съставяне и течение на правата. В чистия му начален статус това е чиста без-прекъсваемост, противоположното на точката. С което ще се въведе самото прекъсване. Но не точката създава непрекъснатата природа и ход на правата, на линията въобще, а тъкмо възможността за структура и протичане. То е онова, което е отвъд и преди точката и разполага с огромни възможности за граница, релации и запълвания. Кант го нарича „съвкупността на всяка възможност“ (Кант 2013:  496), която предоставя материала и подразделението за „пълното определяне“ на всяко нещо,  „защото всички отрицания са само ограничения на една по-голяма и накрай на най-висшата реалност, следователно те предпоставят тази последната и по съдържание са само производни на нея“ (Кант 2013:  499).

Директория на правата. Това е чистата континуална структура на правата и основа на нейната организация. Директорията има посока и е така векторно ориентирана, но без елементи, като начална точка и разстояние (които лесно могат впоследствие да се нанесат върху нея). Директорията се състои от места за точки – point-holders. Тези места текат непосредствено едно до друго в посоката (в двете възможни страни) на правата. Основна съставка на директорията е и тялото на правата. То се проектира срещу удържането на още една имагинерна точка, спрямо която се подреждат точковите места. Ако имаме една и само една имагинерна точка за всички места и тяхното подреждане, ще имаме права линия. Ако директорията има и други имагинерни точки, ще имаме не-права линия, с възможностите на идеалната крива – до кръг, или със само една друга точка, която определя равна отстъпка в закривяването и е център на този кръг, на кривата линия – с множество такива точки на закривяване. Разбира се, може и да има други имагинерни точки, като общо проектиране на правата, с които да имаме начупена права линия. Единствената имагинерна точка на правата линия е в отношение с всяко едно точково място и така впоследствие с всяка една точка от правата линия.

Едно място граничи с друго място по директорията, така че те все пак имат граница, която няма свое определено „разстояние“, отделящо две места. Впоследствие това ще е и границата, която отделя две точки върху правата. Но и ги сближава непосредствено. Такива отстояния са проблем при разпределението на сингуларностите, тъй като поставят прекъсването от „точка до точка“ (Jourdain 1915: 35), които Кантор разглежда в построяването на редица от сукцесивни интервали върху линията, между точките в континуума, или като „безкрайно малки“ разстояния, които могат да се пренебрегнат като „непрекъснати кръгови арки, съставени от другите точки“ (Jourdain 1915: 35-37). Можем и да приемем това отстояние като абсолютна нулева дименсия, като абсолютната нула и като чисто отмятане, а така и като „прекъсване“ до единствената точка, която ще го запълни. С това обаче трябва да признаем собствено място и специална протяжност на точката.

Точка на правата. Ще дефинираме точката като абсолютно най-малката (завършена) протяжност в геометричния континуум. Нейната протяжност се равнява единствено на себе си и на нищо друго и не се съставя от нищо друго, поне засега в геометрично отношение. С това точката е най-малката запълнена „част“ от геометричния континуум. Ако я вземем абсолютно, то срещу нея ще отстои целият континуум, в цялата му мощност и геометрична изпълнимост и организация. Тъкмо така тя може да се дефинира и в теорията на числата. Но тогава под едно число ще имаме структура от точката и начина на приемане и отнасяне с други точки в континуума. Едно число ще е съставено от точки и празни места за точки със съответната организация на попълване на континуума. Всяка една организация в континуума може да бъде разгледана чисто, откъм съставящите я точки.

Точката е сама по себе си протяжна, и тя не може да формира сама разстояние. Затова трябва поне още една точка. Това отнасяне на две точки вече основава една дистанция и елемент на изпълване на непрекъсната геометрична структура.

Начален сегмент на правата. Това не е всеки сегмент, който може да бъде образуван от всеки две и повече точки на правата, както го дефинира Д. Хилберт, а е конституиращият елемент и принцип на непрекъснатата фигура. Необходим е най-малкият възможен сегмент, освен точката, взета като начална точка при Хилберт: за т. О – ОО е сегмент на точката „сама по себе си“ (Hilbert 1950: 51). Най-малкият възможен сегмент е съставен от две точки, които лежат на директорията на правата непосредствено една до друга. Те са запълнили две непосредствено едно до друго места за точки върху директорията на правата. Нямат никаква трета точка помежду си.

Всеки следващи две точки върху правата трябва да влязат в това отношение една спрямо друга на начален сегмент.

Тяло на правата. Това е непрекъснато запълнената директория на правата. Върху директорията на правата няма свободни места за точки. Множеството от точки върху правата е безкрайно. То е организирано по дълбокия строеж на правата и тече с посоката на правата през целия геометричен континуум. Всички точки на правата се подчиняват на реда и хода на нейната конституция.  

Всичко така поставено дотук определя и статута на правата като базово измерение на континуитета и запълването на геометричния континуум. Можем да изведем общото условие, че всяка една съвкупност от точки в континуума трябва да има своя организация, ред и протичане, като така тя е непрекъснато организиран домейн. И също така трябва да има своя строеж и определено отношение спрямо целия континуум, за да има статут на базова геометрия, с термина на Д. Хилберт. Както и да предлага основа и преход за следващи (базови) организации на целия континуум.

Ориентация на правата. Това е общото ѝ положение, т.е. топология и участие в следващи геометрии. Най-вече, разбира се, това е завършеността на цялата конструкция на правата спрямо следващото базово измерение на равнината и възможността за участие в това и в други геометрии. Със своето отношение към следващите измерения и към другите геометрии правата демонстрира статута си на базово геометрично измерение.

 

Конституиране на правата линия

Конституирането на правата линия се осъществява по набор от аксиоми на базовия тип геометрия, развити от Д. Хилберт в неговия труд „Основи на геометрията“. С това правата линия демонстрира статута си на базова геометрична формация.

I. Аксиома на началната геометрия

Производството на правата линия се основава на най-малкия ѝ градивен сегмент – две точки, т. О₁ и т. О₂, О₁О₂, които са непосредствено лежащи една до друга. Между тях няма друга точка върху директорията на правата.

С тази аксиома се определя, както постулира Д. Хилберт, геометрията на правата линия. Третата точка, поставена извън О₁ и О₂, двете точки, образуващи началния сегмент на правата, и не заела място в директорията, е вече в равнината: „I, 3 Три точки А, В, С не ситуирани върху една права линия напълно определят една равнина α“ (Hilbert 1950: 2). С това с така положената точка е въведена „нова геометрия“ (Hilbert 1950: 15). Това е геометрията на равнината, на следващото геометрично измерение след правата като първата непрекъсната формация в геометричния континуум.

Съответно въвеждането на една четвърта точка, отново лежаща извън формацията на равнината, въвежда следващата „нова геометрия“ на пространството: „I, 7… в пространството съществуват най-малко четири точки, нележащи в една равнина“ (Hilbert 1950:  3).

В тази проекция спрямо началните точки на правата линия, равнината, пространството се виждат възможностите за тяхното взаимното координиране и преход, както и възможностите за тяхната дълбока геометрия.

 

II. Аксиома на връзката (Hilbert 1950: 5)

Третата точка, т. О₃, спрямо един начален сегмент О₁О₂, с необходимост формира връзка с О₁О₂ по хода на директорията. О₃ ще се свърже непосредствено или ще образува начален сегмент спрямо т. О₁ или т. О₂ в две единствено възможни посоки на директорията на правата. Ще имаме О₃О₁ в начален сегмент или О₂О₃ в начален сегмент.

Всяка следваща запълнена точка по правата ще се свърже единствено по този начин с предходните. Като образува начален сегмент само с една единствена точка (в една от двете възможни посоки по правата).

Всяка точка от правата L влиза в начален сегмент, като двойка точки, непосредствено лежащи на правата една до друга.

По правата не може да се намери точка, свободна от влизането си в такъв начален сегмент.

 

III. Аксиома на реда (Hilbert 1950: 3-5)

Началните сегменти на правата образуват секвенция, чрез повторение на формираните по такъв начин сегменти, или начални двойки точки.

Всяка точка образува такава начална двойка с предходната точка (също влизаща в такъв начален сегмент) и участва в непосредствено следваща двойка с друга точка. Така правата нараства строго в две посоки, дадени спрямо един първичен сегмент.

Правата е така подредена структура от двойки точки, от начален сегмент по цялата своя дължина, по цялата си директория.

Това повторение е до безкрайност, на безкрайно количество от точки.

Може да дефинираме дължината на правата в цялата поредица от начални сегменти на нейната директория.

Оттук можем да организираме всякакви сегменти върху правата. Може и да я насочим в хода на сегменти спрямо една абсолютна начална точка, вече като безкраен вектор с определена посока по директорията на първичната права.

 

IV. Аксиома на непрекъснатостта (Hilbert 1950: 15)

Това е самото образуване и ход на тялото на правата.

1. По тялото направата не може да има свободно място, т.е. незаето от точка, по цялата ѝ директория.

2. Всяка точка от правата участва в начален сегмент спрямо предходната ѝ точка и спрямо непосредствено следващата.  Няма точка, която да е само на една от тези позиции в двойката на началния си сегмент.

Това означава, че по отношение на правата, по нейното тяло, няма реално последна или начална точка.

Всяка точка на правата е свързана в начален сегмент и така пренася свързването и реда направата по директорията ѝ.

 

V. Аксиома на завършеността (Hilbert 1950: 15)

1. Никъде по правата не се нарушава нейната директория. Това означава, че няма точка от правата, която да е в друго измерно отношение спрямо правата. Затова и „няма възможност за нова геометрия“ (Hilbert 1950: 15).

2. Цялото на правата и нейното конституиране формират базово геометрично измерение. Те позволяват и сегментиране и мапиране по правата с основни геометрични и числови параметри.

Правата се завършва по отношение на следващото геометрично измерение, непосредствено следващо след нея, за което тя е основата и предоставя градивен материал и основни релации.

3. Всяка точка се отнася количествено и геометрично към цялото на правата.

4. Цялото на правата, конституирано по нейната дълбока геометрия, има своя количествена определеност в континуума, следователно своя мощност, относима към мощността на континуума.

Всички аксиоми I – V демонстрират производството на правата като първата непосредствена формация в континуума и като базово негово измерение. Правата е първата геометрична фигура, безкрайно свързана в своите градивни елементи, безкрайно конгруентна в тяхното повторение и чиста секвенция, в своята цялост правата дава базово измерение на геометричния континуум и следователно съставя тип мощност в основния спектър от мощности на целокупния континуум.

Изводи и проекции от IV част:

I. Извеждането на производството на правата линия като нейна дълбока геометрия я полага в мащаба на геометричния континуум. Това определя нови елементи в нейната структура и ход, които я демонстрират като базова геометрия. Демонстрират я и като непрекъснат домейн.

II. Конструирането на правата линия отговаря на въпроса как възниква една нова геометрия. Който отваря още въпроси – за възникването и демонстрирането на възможните базови геометрии. Те се простират единствено върху възможността и основния спектър на целокупния геометричен континуум. Началните елементи и конституция на правата отварят възможността за пространството и следващите базови геометрии в континуума.

III. Открива се връзка и съответствие между числовите мощности на континуума и геометричното им проектиране, демонстрирано чрез първия непрекъснат домейн, каквато е правата линия. Съответно новите геометрии обещават да предоставят нови непрекъснати домейни и за числата, т.е. съществуването на „нов инструмент“, като „нови числа“, както постулира Р. Дедекинд. Тези нови числа с необходимост трябва да оперират с мощностите в цялото на континуума. А те се дефинират именно като безкрайни, но и като количествено определени, и като свързани и оформящи се в съответното си продуциране, степен и организация към мощността на самия Абсолютен континуум.

 

С всичко това задаваме същинския мащаб и дефиниране на безкрайността, както я проектира Рихард Дедекинд и я извежда Георг Кантор, това не е единицата като основаващ елемент, и оттук мярата на крайното количество. Мярата на безкрайността е определена в обхвата на континуума и в базовите непрекъснати домейни, които го основават и разгръщат и които могат да бъдат организирани и определени по мощност, структура и редове в него като Абсолютен континуум на величините и измеренията.

 

            References

Aristotle, 1994. Metafizika. // Antichna filosofiya. Antologiya. Sast. R. Radev. St. Zagora: Ideya, 134-135. [Аристотел, 1994. Метафизика. // Антична философия. Антология. Съст. Р. Радев. Ст. Загора: Идея, 134-135.]

Bronstein, M. M., Bruna, J., Cohen, T., Velickovic, P. 4 may 2021. Geometric Deep Learning. Grids, Groups, Graphs, Geodesics, and Gauges. arXiv:2104.13478v2 [cs.LG] 2 May 2021

Cantor, G. 1915. Contributions to the Theory of Transfinite Numbers. New York.

Dedekind, R. 2007a. Continuity and Irrational Numbers. // Dedekind, Essays on the Theory of Numbers. [Ebook #21016, Project Gutenberg License], pp.1-13.

Dedekind, R. 2007б. The Nature and meaning of Numbers. // Dedekind, Essays on the Theory of Numbers. [Ebook #21016, Project Gutenberg License], pp.14-58.

Ehrlich, Ph. 2012. The Absolute Arithmetic Continuum and the Unification of All Numbers Great and Small. // The Bulletin of Symbolic Logic, Volume 18, Number 1, pp.1-45.

Euclid, 2008. Euclid’s Elements of Geometry. Translation by R. Fitzpatrick. ISBN 978-0-6151-7984-1

Hilbert, D. 1950. The Foundation of Geometry. Translation by R. Fitzpatrick.

Jourdain, Ph. Introduction. 1915. // Cantor, Contributions to the Theory of Transfinite Numbers. New York, pp. 2-82.

Kant, I. 2013. Kritika na chistiya razum. Sofiya: Akad. izd. „Prof. M. Drinov“. [Кант, И. 2013. Критика на чистия разум. София: Акад. изд. „Проф. М. Дринов“.]

Kristeva, S. 2018. Genezis i pole na logicheskata teoriya. Studii po filosofska logika. [Кръстева, С. 2018. Генезис и поле на логическата теория. Студии по философска логика. Вл. Търново: Фабер.]

Parmenides, 1994. Za prirodata. // Antichna filosofiya. Antologiya. Sast. R. Radev. St. Zagora: Ideya, 131-134. [Парменид, 1994. За природата. // Антична философия. Антология. Съст. Р. Радев. Ст. Загора: Идея, 131-134.]