The paradox of the sentenced to death

Evgeni Latinov

Софийски университет „Свети Климент Охридски"

 

Има един парадокс, който (мисля) е относително известен исе среща под различни форми. В една от тях се говори за осъден на смърт, който стига до заключението, че присъдата му е невъзможно да бъде изпълнена, в друга - за учителка (или учител), която предупреждава логичните си учениците, че следващата седмица ще им даде неочаквано контролно, а те логически извеждат, че това е невъзможно. Парадоксът се среща и под други форми, като проблемът при всичките е, че заключението на осъдения, учениците или съответните други участници изглежда много контра-интуитивно, като в същото време не е лесно да се види къде е грешката в аргументацията, която води до него, поради което и говорим за парадокс. Това, което в крайна сметка ще защитя, е, че парадоксът е достатъчно сериозен и заслужава внимание, съизмеримо дори с това, което заслужава парадоксът на Лъжеца, макар и все пак да не твърдя, че е чак от такава важност като последния. Преди да разгледам самия парадокс обаче, ще направя едно по-общо въведение, засягащо различните видове парадокси и начините, по които те биват решавани, като ще изложа една възможна класификация на парадоксите.

Всеки парадокс може да бъде разглеждан като аргумент, изхождащ от предпоставки, които изглеждат истинни, използващправила за извод, които изглеждатлогически валидни, и стигащ до изводи, които изглеждатнеистинни или дори противоречиви. Парадоксите ни поставят в състояние на неудовлетворение; ние имаме нужда да ги разрешим -да развалим магията, така че да престанат да бъдат парадокси. Парадоксите, разбира се, са различни - някои самного сериозни, други не чак толкова. Начините, по които един парадокс може да бъде разрешен, също са различни,като решенията не винаги са напълно удовлетворителни. Понякога даден парадокс няма решение(все още), въпреки че е ясно,че нещата не могат да бъдат оставени по този начин. Понякога сме принудени да приемем парадоксалния извод, въпреки че противоречи на интуицията ни.Понякога решението има своята цена, защото или усложнява теоретичната ни картина, или съдържа други, може би не чак толкова контра-интуитивни, но все пак контра-интуитивни положения, които от своя страна трябва да бъдат преглътнати и т.н.

Куайн (Quine, The Ways of Paradox, 1961) прави следната класификация на парадоксите. Разделя ги на три групи. Първата нарича „фалсидикални парадокси"(от латинското „falsidicus" - „говоря неистината"). Това са тези парадокси, в чиито аргумент (както казахме, всеки парадокс може да бъде разгледан като един вид аргумент) или има неистиннапредпоставка (предпоставки), която само изглежда истинна, или в последователността от логическистъпки, която води от предпоставките към парадоксалнотозаключение има логическа грешка, въпреки че вероятно не е лесно да бъде забелязана. Разрешаването на такива парадокси се състои в посочването на неистинната предпоставка (предпоставки) или/ив посочването невалидната стъпка (стъпки) в разсъждението. (Разрешаването на такъв парадоксобикновено ни дава чувство за сила - не сме позволили на фокусника да се изкара магьосник.) Хубав пример (посочен от Куайн в споменатата статия) е парадоксът на Бръснаря. Парадоксът е даден отРъсел (Ръсел казва, че му е бил казан от някого, когото той не назовава) и има логическата структура на парадокса на Ръсел -в едно село имало бръснар, който бръснел тези и само тези мъже от селото, които не се бръснели сами. Проблемът е, че бръснарят или се бръсне сам, или не. Но ако се бръсне сам, тъй като бръсне само тези мъже от селото, които не себръснат сами, значи не се бръсне сам. Обратно, ако не се бръсне сам, тъй като бръсне тези мъже от селото, които не се бръснат сами, значи се бръсне сам. Получава се, че бръснарят се бръсне сам,ако и само ако не се бръсне сам. От пропозиционалната логика обаче знаем, че последното е логически еквивалентно на това, че бръснарятсе бръсне сам и не се бръсне сам, т.е. поставени сме в положение на логическо противоречие - най-лошото положение, в което един парадокс може да ни постави, защото пак в пропозиционалната логика лесно се показва, че от едно противоречие логически следва всяко изречение. Парадоксът се решава много лесно. Решението е просто, че село с такъв бръснар в него не е съществувало, не съществува и няма да съществува. Самият парадокс еreductio ad absurdum аргумент за това.Парадоксът е фалсидикален, защото една от предпоставките му (всъщност единствената) е неистинна.

Следващата група парадокси Куайн нарича „вердикални" (от латинското „verdicus" - „говоря истината"). Това са парадокси, чието заключение противоречи на интуицията, но въпреки това е истинно. Такъв е например парадоксътМонти Хол[1]. Тойе свързан с американско телевизионно шоу от 70-те години. Читателски въпрос към рубрика в едно списаниеописва следната ситуация в телевизионна шоу-игра. Играещият стои пред три врати, зад една от които има автомобил, а зад другите две - нищо, като не знае къде е автомобила. След като избере една от вратите, водещият (който знае къде е автомобила) отваря една от другите две врати, зад която няма нищо (такава винаги има), и му дава възможност или да потвърди избора си, или да избере другата, неотворена врата. Въпросът е има ли значение какво ще направи играчът. За повечето хора е очевидно, че е все едно какво ще направи, т.е. шансът да уцелиавтомобилакакто при потвърждаване на избраната врата, така и при смянатайс другата е 1/2. Верният отговор обаче е друг - акоиграчът потвърди избраната врата, вероятността да си тръгне с автомобил е 1/3, а ако смени избора си, е двойно по-голям - 2/3.Това, че верният отговор наистина е в противоречие с интуицията, се потвърждава от факта, че след публикуването му, списанието получава над 10 000 писма (като от тях над 1000от хора с PhD степен), които твърдят, че даденият отговор е погрешен, и че вероятността за успех и при двата избора е 1/2. Дори един от най-големите математици на 20-ти век, Паул Ердьош, отказва да признае верния отговор, докато не му показват компютърна симулация, която го потвърждава[2]. Друг, по-сериозен пример е квантовата механика. Някои от най-големи физици смятат, че нейни основни принципи са в силно противоречие с интуицията. Ричард Файнман например (койтополучава Нобелова награда за развитието именно на квантовата механика) казвабуквално следното: „Мисля, че мога уверенода кажа, че никой не разбира квантовата механика"[3]. Въпреки това физиците приемат квантовата механика и нейните следствия, защото опитът (поне засега) напълно я потвърждава. (Впрочем парадоксите в квантовата механика могат да бъдат разглеждани и като попадащи в третата група парадокси.)

Третата група парадокси, която Куайн нарича „антиномии", са едновременно най-трудните за решаване и най-важните за науката. При тях нито можем да приемем извода (който обикновено е противоречие), нито можем да посочим ясна грешка в аргументацията илинеистинността на някои от предпоставките.По думите наКуайн такива парадокси показват, че „някакви мълчаливо приемани начини на разсъждение трябва да бъдат направени явни и след това избягвани или ревизирани"(Quine, The Ways of Paradox, 1961).Антиномиите създават кризи на мисълта и по този начинса двигател на мисловния прогрес, защото ни карат да променим наши основни понятия или принципи, които дотогава сме приемали каторазбиращи се от само себе си.Два от примерите за антиномии, които Куайн посочва, са парадокса на Ръсел и парадокса на Лъжеца. Откриването на парадокса на Ръсел (множеството от всички множества, които не саелементи на себе си, едновременно е и не е елемент на себе си)създава криза в математиката в началото на 20-ти век, тъй катов основата на математиката стоитеория на множествата, а парадоксът показва, че в теория на множествата има противоречие.Парадоксът ни принуждава да се откажем от един основен и дотогава разбиращ се от само себе си принцип - че за всеки възможен предикат съществува множество от неща, за които предикатът е истинен (ако предикатът не е истинен за нищо, това е нулевото множество)[4]. Въпреки че усложнява теория на множествата и прави полето й несигурно, парадоксът довежда до напредък в развитието на математиката и логиката - създаването на модерната аксиоматична теория на множествата с нейните успехи и нови проблеми.

Парадоксът на Лъжеца е много по-древен. Ще се спра малко повече на него, тъй като предстои даго свържа по определен начин с нашия парадокс. Ето един кратък и в същото време задоволителен начин за излагането му. Да разгледаме следното, означено с „L" (от „лъжец") изречение:

L: Изречението Lне е истинно.

Изречението говори за самото себе си и ни казва, че не е истинно. Бидейки граматически правилно и смислово определено от контекста,то трябва да е истинно или неистинно. Ако е истинно, това което ни казва, ще е факт и значи изречението няма да е истинно; ако не е истинно, няма да е истинно, че изречението не е истинно, и значи изречението ще е истинно. Получава се, че L е истинно, ако и само ако не е истинно, което е логически еквивалентно на това, че L едновременно е истинно и не е истинно. Стигнахме до противоречие.

През 30-те години на 20-ти век Алфред Тарски(Tarski, 1983)поставя началото на логическата семантика, като предлага строга дефиниция на понятието за истина по отношение на формалните езици (реално използващи символиката на предикатната логика). Във връзка с тази дефиниция Тарски използва парадокса на Лъжеца за да покаже, че обичайното понятие за истина е противоречиво. Може би най-задоволителното решение на този проблем, получено чрез обединяване на разграничението на Тарски между обектен и мета език и Ръселовата йерархия от теория на типовете, е понятието за истина да бъде заменено с (безкрайна) поредица от близки, но различни понятия, които биха могли да бъдат обозначенисистина₁, истина₂, истина₃, ... и т.н. Идеята е,че предикатът „... е истинно₁" е приложим само върху изречения, които не съдържат предикати за истина от поредицата, в частност не еприложим за изречения, съдържащи самия този предикат. (Под „не е приложим" се разбира, че ако все пак го приложим, по дефиниция ще получим не смислен израз, а безсмислена поредица от символи.) Това пречи да се получи парадоксът на Лъжеца, защото ако „L" обозначава „L не е истинно₁",L e изречение, което съдържа предиката „истинно₁", което превръща „L не е истинно₁" (т.е. L)в безсмислена поредица от символи. Предикатът „... е истинно₂" съответно е приложим само върху изречения, които или изобщо не съдържат предикати от поредицата предикати за истина, или съдържат „... е истинно₁".И така нататък за останалите предикати за истина. Обобщено казано, когато прилагаме един от предикатите върхуизраз, който съдържа предикат за истина, последният трябва да има по-нисък индекс от първия, иначе полученият израз се разглежда като безсмислен. По този начин се избягвапарадокса на Лъжеца и се решава проблемът с противоречивостта на понятието за истина, като в същото време си запазваме свободата да употребяваме предикати за истина върху изрази, които съдържат предикати за истина.

Цената, която това решение на парадокса на Лъжеца (най-доброто съществуващо според мен)плаща, не е малка- отказването от обичайното понятие за истинности замяната му с тази изкуствена поредица от близки, но различни понятия неминуемо усложнява живота ни (в неговите теоретични аспекти).

Чрез работата на Тарски парадоксът на Лъжецапо някакъв начин бива свързан с един голям научен успехна 20-ти век - възникването на логическата семантика снейните плодотворни приложения в логиката, математиката, философията и др.

Нека сега преминем към парадокса на Осъдения на смърт. Парадоксът се появява някъде в средата на 40-те години на миналия век и получава относително голяма популярност. Парадоксът е следният. В края на седмицата, да кажем в петък, съдията произнася присъда подсъдимият да бъде обесен на обяд в един от работните дни на идващата седмицата (от понеделник до петък) като обесването трябва да е неочаквано в смисъл, че подсъдимият не трябва да го очаква точно в деня, в който присъдата ще бъде изпълнена. По-определено и за целите на парадокса (за да избегнем вмешателства от психологически и езиков характер) тази клауза за неочакваност е точно определена от съдията така: сутринта в деня, в който присъдата ще бъде изпълнена,подсъдимият не трябва да има достатъчно рационално основание(ирационално той може да си вярва в каквото си иска)да очаква, че присъдата ще бъде изпълнена на обяд същия ден. Тогава подсъдимият прави следното разсъждение. Ако не съм обесен от понеделник до четвъртък включително, то в петък сутринта ще имам(в противоречие с присъдата)достатъчно основание да очаквам изпълнението на присъдата на обяд същия ден, защото това ще е последният възможен ден за това. Следователно няма да бъда обесен в петък. Но тогава(тъй като петък вече е изключен като ден за бесене), ако не съм обесен от понеделник до сряда включително, то в четвъртък сутринта ще имам (в противоречие с присъдата) достатъчно основание да очаквам, че на обяд същия ден ще бъда обесен. Следователно няма да бъда обесен и в четвъртък. По напълно аналогичен начин разсъждението продължава към началото на седмицата, като накрая се изключваи понеделник - понеже вторник е изключен по познатия ни начин, единственият възможен ден остава да е понеделник, но това значи, че (в противоречие с присъдата)понеделник сутрин той ще я очаква, което я прави неизпълнима и в този ден. Следователно, завършва подсъдимият, тъй като в нито един от дните на седмицатане мога да бъда обесен по начина, постановен от съдията, значи няма да бъда обесен. (Присъдите, особено толкова сериозни присъди като тази, трябва да се изпълняват точно в съответствие с постановеното от съдията - обесване, неотговарящо на присъдата,би било убийство.)

Версията с неочакваното контролно е напълно аналогична. Учителката казва на учениците си, че следващата седмица ще им даде неочаквано контролно -всмисъл, че няма да очакват контролното точно в деня, в който то ще бъде дадено (по-точно няма да имат достатъчно рационалнооснование да го очакват тогава). Ученицитеразсъждават точно като осъдения на смърт, за да изведат, че заканата на учителката е невъзможно да бъде изпълнена.

И при двата варианта на парадокса е важна уговорката, че присъдата или контролното трябва да са неочаквани в смисъла на липсата на рационалнодостатъчно основание да бъдат очаквани.Някой може да има предчувствие, да е убеденот логически невалиден аргумент или да има свръхестествени способностида вижда бъдещето, но това не е нещо коетосъдията или учителкатаизключват - те изключват наличието на рационално достатъчно основание за очакване на събитието точно в този ден.

Очевидно ситуацията в парадоксална, тъй като такива неочаквани (включително и в прецизирания смисъл) контролни или обесванияот интуитивна гледна точкаса съвсем възможни, а аргументът на парадокса показва обратното. Нещо повече,в училищевсеки от нас реалное бил в такава или подобна „невъзможна" ситуация на неочаквано контролно.

Лично аз, когато се запознах с този парадокс, след интензивно обмисляне стигнах до заключението, че парадоксът е вердикален, т.е. реших, че въпреки че ситуацията е много странна, трябва да приемам, че присъдата не може да бъде изпълнена (контролното не може да бъде дадено) в този смисъл на неочакваност. Като нека подчертаем, че във въпросната неочакваностняма нищо особено или изкуствено - в крайна сметка, ако си представя, че съм на мястото на осъдения на смърт, събуждайки се напримервъв вторник сутрин, не бих имал точно достатъчно рационално основание да очаквам, че присъдата ще бъде изпълнена днес (нещо което прави присъдата изпълнима), но бих могъл да имам ирационална вяра или предчувствие, че ще е днес. Въпреки това парадоксът ми изглеждаше вердикален, защото не можех да намеря логическа грешка в аргументацията на осъдения на смърт. По-късно мнението ми за вида на парадоксът се промени, но и в момента продължавам да мисля, че в аргументацията на осъденият няма логически невалидни стъпки. Много хора обаче не мислят така. Подозрението за логическа грешка обикновено се насочва към онзи момент в разсъждението, при който, на базата допускането, че присъдата не е изпълнена до предпоследния възможен ден включително, се заключава, че тя няма да бъде изпълнена и в последниявъзможен ден, след което последното се използва като факт, чиято истинност не зависи от въпросното допускане. Един мой познатпосочи тук формално-логическатагрешка на използване наmodus ponens с липсваща предпоставка.По конкретно според него туксе заключаваот истинността на едно условно изречение „Ако A, то B" за истинността на B, без да е установена истинността на А. А напримере „Присъдата не е изпълнена от понеделник до четвъртък включително", а B - „Присъдата не е изпълнена в петък". Истинното условноизречение „Ако А, то В" отговаря на разсъждението на осъдения, че ако присъдата не е изпълнена до петък, в петък сутринта ще има достатъчно основание да очаква нейното изпълнение на обяд(което я прави неизпълнима). Това което е неправилно според тази критика е, чезаключавамеот „Ако А, то В" за В(„Присъдата няма да бъде изпълнен в петък"), без истинността на А да е установена - тя само е допусната - и продължаваме нататък, стъпвайки върху „истинността"на B.

Тук обаче според мен логическа грешка няма, защотовъв въпроснатачастот разсъждението имплицитно се съдържа нещо повече от заключаване от „А→В" („Ако А, то B") къмB. Това допълнително нещо я прави коректен reductio ad absurdumаргумент от вида: „Ако А, то не-А,следователно не-А". „А" тук е „Присъдата ще бъде изпълнена в петък". Имплицитното разсъждение е следното: „Да допуснем, че присъдата ще бъде изпълнена в петък (А). Това значи, че няма да е изпълнена от понеделник до четвъртък . Но тогава в петък сутринта аз ще имам достатъчно основание да я очаквам на обяд, което я прави неизпълнима, и значи няма да бъде изпълнена в петък (не-А)." Цялото това разсъждение служи да покаже истинността (без никакви допълнителни предпоставки освен съдържанието на присъдата и тривиални неща от вида, че ако не съм обесен, ще знам, че не съм обесен,и пр.) на условното изречение „Ако А, то не-А". От неговата истинност по законите на пропозиционалната логика логически следва истинността на „не-А" („Присъдата няма да бъде изпълнена в петък"). По-нататък спокойно може да се стъпи върху истинността на това изречение и разсъждението да се продължи по аналогичен начин, като се изключат останалите дни от седмицата.

Като цяло аргументът на осъдения на смърт обачее погрешен (т.е. парадоксът не е вердикален) и товане е защото използва логически неправилни разсъждения, а защото използва правилни, но не ги използва докрай. Лично аз едва ли щях да видя това, ако не бях попаднал на една друга статия на Куайн(Quine, On So Called Paradox, 1953), в която той показва, че осъденият на смърт греши. Както вече казах, грешката му не е, че не разсъждава правилно, а че не провежда разсъждението си до край. Той логически правилно стига до заключението, че присъдата е невъзможно да бъде изпълнена и съответно, че няма да бъде изпълнена, но точно това му дава достатъчно основание да не я очаква в нито един от дните на седмицата, което я прави изпълнима във всеки от дните на седмицата. Например нещата биха могли да се развият по следния начин. Разсъждавайки правилно (макар и не извеждайки докрай всички следствия) осъденият стига до заключението, че присъдата е неизпълнима и следователно няма да бъде изпълнена. Тогава той отива в килията си щастлив, че ще живее, и когато, например в сряда на обяд, палачът се появявана вратата на килията му, той еизненадани ужасен, защото не е очаквал изпълнението на присъдата в този ден (всъщност не го е очаквал никога). Ситуацията е такава, каквато е постановил съдията, и обесването би било извършенов съответствие с присъдата. (По същия начин заключението на учениците, че не е възможно учителката да изпълни заканата си, води до това, че контролното не е очаквано в нито един от дните от седмицата, и когато бъде дадено в който и да е от тях, ситуацията отговаря на заканата на учителката.)

Напълно несъществено е, че в парадокса става дума за 5 дни. По същия начин можеше да става дума и за 1000, а можеше да става дума и за един единствен ден и всъщност точно в този случайсъщността на парадокса се вижда най-ясно.Да си представим , че съдията казва „Да бъде обесен утре на обяд, като сутринта не очаква (няма достатъчно рационално основание да очаква), че ще бъде обесен на обяд". Условието за неочакване прави присъдата невъзможнаи дава достатъчно основание на осъдения да не я очаква. Точно това обаче я прави изпълнима. Фаталното за осъденияе, че правилното му разсъждение, че присъдата е невъзможна,я прави възможна, а от там и задължително изпълнима.

И така, грешката на осъдения е, че не провеждаразсъжденията си докрай, но какво би станало, ако го направи?От тук нататък ще се придържам към най-простия случай - когато присъдата е за следващия ден (случаят с 5-те дни самое по-сложен; в него няма нищо съществено ново). Първо осъденият заключава (правилно), че няма да бъде обесен. Но после веднага осъзнава, че това го лишава от достатъчно основание да я очаква утре и с това я прави изпълнима. Но щом е изпълнима, тя ще бъде изпълнена, което му дава достатъчно основание да я очаква. Но веднага пак осъзнава, че това я прави неизпълнима, което го лишава от достатъчно основание да я очаква, с което става изпълнима и т.н. до безкрайност. Присъдата вкарва осъдения в неспиращ цикъл от редуващи се заключения, че ще бъде и няма да бъде изпълнена. Разбира се,безсмислено е да се опитва да ги следва докрай. Достатъчно е да направи една допълнителна рефлексия и да осъзнае, че когато му дава достатъчно основание да я очаква, присъдата го лишава от такова основание, и че когато го лишава от таковаоснование, тя му го дава. С други думи присъдата му дава достатъчно основание да очаква нейното изпълнение, ако и само ако го лишава от него, което е противоречие - тя едновременно му дава и нему дава достатъчно основание да очаква изпълнение й. Втората част на това противоречие обаче прави присъдата изпълнима. Защото, нека си спомним, тя беше осъденият да няма рационално основание да я очаква и това е факт. Друг е въпросът, че осъденият също така има рационално основание да я очаква.

Куайн завършва статията си с изказването, че за осъдения е най-добре да престане да разсъждава и да се надява на най-доброто.Всъщност доколкото имаме противоречие, а от противоречието следва всичко, палачът би могъл да изведе, че присъдата не трябва да бъде изпълнявана, но не е длъжен да го прави.

Както изглежда, Куайн смята този парадокс за фалсидикален, доколкото началният проблем беше, че аргументацията на осъдения на смърт изглеждаше правилна, от което следваше, че присъдата е неизпълнима, което от своя страна изглеждаше парадоксално. Това което искам да защитя е, че парадоксът е по-скоро антиномия, при това от ранга на парадокса на Лъжеца. Основанието е, че макар и осъденият като цяло да не е прав в своята аргументация, това до което се стига в крайна сметка е противоречие - осъденият има и няма достатъчно основание да очаква изпълнението на присъдата. Противоречието не е никак лесно да бъде елиминирано (лично аз не знам как). Тук нещата нестоят така, както беше със споменатия по-рано парадокс на Бръснаря, при който е достатъчно просто да кажем, че не е възможно да съществуватакъв бръснар. Напротив, подобна присъда е напълно възможно да бъде произнесена, да не говорим за контролното.

Противоречиетообаче зависеше от една стъпка, която не беше експлицитно спомената по-горе и на която е нужно да бъде обърнато внимание. Става въпрос за прехода от това, че осъденият има достатъчно основание да не очаква присъдата, към това, че няма достатъчно основание да я очаква. Този преход изглежда (поне на мен) напълно оправдан,но ако по някаква причина не може да бъде направен, не бихме имали формално логическо противоречие. Причината е следната. Имането на достатъчно (рационално) основание да очаквамнещо, или да вярвам в нещо, или да се надявам на нещои т.н.саинтензионални понятия. Те спадат към така наречените пропозиционални отнасяния (propositional attitudes). Когато се третират от логиката,на тяхотговарят модални оператори, което автоматично изкарва дискурса от полето на класическата пропозиционална или предикатна логика и го вкарват в полето на модалната,в дадения случай - нанякакъв вид епистемичнамодална логика. Всимволния езика на логиката въпросният модален оператор обикновено се представя с „□". Така че нека приемем, че на „□" отговаря „имамдостатъчно(рационално) основание да очаквам, че". По принцип формално противоречие е всяко изречение с формата „αи не-α" (представяно символно с „α ∧¬α") или изречение, което е логически еквивалентно на такова изречение. Ако „p" представя символно „Ще бъда обесен днес", то „Имам достатъчно основание да очаквам, че ще бъда обесен днес" ще бъде представено символно с „□p".За да получим формално противоречие,това изречение трябва да бъде свързанов конюнкция с неговото отрицание - „¬□p" („Нямам достатъчно основание да очаквам, че ще бъде обесен днес"), така че да получим „□p∧¬□p"; напротив, формално логическо противоречие не бихме имали, ако свържем„□p" в конюнкция с „□¬p" („Имам достатъчно основание да не очаквам, че ще бъде обесен днес"), защото тогава бихме имали „□p∧□¬p", което няма формата на „α ∧¬α". В почти всички модални логики обаче от „□¬p"логически следва „¬□p" и епистемичната модална логика не прави изключение - ако вярвам илизная, че нещо няма да е факт, то не вярвамилине зная, че ще е факт. Но да оставим модалната логика настрана. За нашите цели е достатъчно, че ако от това, че имам достатъчно основание да не очаквам нещо, следва, че нямам достатъчно основание да го очаквам, то парадокса води до формално логическо противоречие, а както ми се струва такова валидно следване се съдържа в самото понятие за рационалнодостатъчно основание (било то за очакване, вярване, знаене или нещо друго).

[5] Макар и вероятно да не е от ранга на парадокса на Лъжеца, парадоксът на Осъденият на смърт е подобен на него, най-малкото по две неща. Първото е, че(както се опитах да покажа) при него се стига до логическо противоречие. Второто (което е свързано с първото) е, че така както парадокса на Лъжеца показва, че обичайното понятие за истина е противоречиво, така парадоксът на Осъденият на смърт показва същото нещо по отношение на понятиетоза имане на достатъчно (рационално) основание за нещо, а това понятие е важно за теориите на рационалното поведение. Съответно, така както задоволителното решаване на парадокса на Лъжецаизискваше ревизия на понятието за истина, така едно задоволително решаване на парадокса на Осъдения на смърт вероятно би изисквало подобна ревизия на споменатото понятие. Така че, според мен, по класификацията на Куайн парадоксът не е нито вердикален, нито фалсидикален, а е антиномия.

Библиография

Feynman, R. (1992). The Characterof Physical Law. Penguin Group.

Frege, G. (Band I (1893); Band II (1903)). Grundgesetze der Arithmetik. Jena: Verlag Hermann Pohl.

Quine, W. (1953). On So Called Paradox. От W. V. Quine, in: The Ways of Paradox and Other Essays (1966), Random House, New York.

Quine, W. (1961). The Ways of Paradox. От W. Quine, in: The Ways of Paradox and other and Other Essays (1966). New York: Random House.

Tarski, A. (1983). The Concept of Thruth in Formalized Languages (1931). От A. Tarski, Logic, Semantics,Metamathematics. Hackett Publishing Company.

 

 

[1]Примерите на Куайн са други.

[2]Това обаче сигурно е шега от негова страна (Ердьош е бил известен с ексцентричността и чувството си за хумор).

[3]„I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics."(Feynman, 1992)

^[4]Фреге разглежда този принцип катологически и включва един негов еквивалент като аксиома в своята система (Frege, Band I (1893); Band II (1903)), с която цели да сведе математиката (аритметиката) до логиката. Аксиомата обаче води до парадокса на Ръсел и прави системата му противоречива.

[5]От семантична гледна точка за това е нужно да съществува поне един достижим възможен свят.