Russell's theory of types as a solution to the semantic and theoretic-multiple paradoxes

Evgeni Latinov

E-mail: e.latinov@gmail.com

 

 

Има две групи парадокси, за които не е преувеличено да се каже, че са едновременно най-важните и най-трудните за решаване. Това са семантичните парадокси и парадоксите в теория на множествата. Въпреки че (като Ръсел) някои смятат, че причина за тези парадокси е една и съща, исторически наложилите се подходи за решаването им (доколкото може да се говори за решаване) са различни. Имам предвид разделението между обектен и мета (мета-мета и т.н.) език на Тарски, като решение на семантичните парадокси, и аксиоматичната системаЦермело-Френкел (като решение на парадоксите в теория на множествата). Съществуват, разбира се. и други начини за преодоляване на семантичните парадокси (например теорията на Крипке за истината), както и други аксиоматични системи на теория на множествата (например тази на Бернайс), но обща черта при всички тях е, че предлагат решение само за едната група парадокси, не едновременно и за двете. Напротив, Ръселовата теория на типовете е обща, логико-философска теория, предлагаща едновременно решение и за двете. Ще се опитам да покажа как става това. Заключението ми ще е, че за да успее с един удар да разсече два възела, Ръсел плаща висока онтологическа и методологическа цена – предпоставянето на онтология, изпълнена с абстрактни, интензионални същности (пропозиционални функции и пропозиции) и поставянето на тази онтология в основата на логиката.

Най-известният от групата на семантичните парадокси е парадоксът на Лъжеца, а от тази на парадоксите в теория на множествата – парадоксът на Ръсел. Ще ги припомня.

Парадоксът на Лъжеца: Нека „p“обозначава изречението „p не е истинно“ (по този начин „p“ обозначава изречение, което казва за самото себе си, че не е истинно). Основният принцип, който от интуитивна гледна точка определя съдържанието на понятието за истина, е конвенцията Т на Тарски, според която, ако ˹s˺е структурно описание на някакво изречение s(например изречението заградено в кавички), тогава е истинно изречение със следната форма:

˹s˺ е истинно, ако и само ако sʹ

където на мястото на sʹ стои или самото изречени s или негов превод. (Известният пример на Тарски е „‚Снегът е бял‘ е истинно, ако и само ако снегът е бял“.) Тогава имаме следното. Ако p e истинно, то (понеже p е „p не е истинно“) „p не е истинно“ е истинно. От конвенцията Т (посока от ляво на дясно) получаваме, че ако „p не е истинно“ е истинно, то p не е истинно. Получи се, че ако p е истинно, то p не е истинно. Обратно, ако p не е истинно, от конвенцията Т (посока отдясно наляво) получаваме, че „p не е истинно“ е истинно. Тъй като „pне е истинно“ е p, излиза, че p е истинно. Като цяло се получава, че p е истинно, ако и само ако не е истинно, което е логически еквивалентно на това, че p е истинно и не е истинно.

Парадоксът на Ръсел: Съгласно така наречения неограничен Comprehension принцип, на който почива наивната теория на множествата, по отношение на всяко условие (прост или сложен предикат) съществува множество, което съдържа всички неща, които отговарят на това условие, и съдържа само тях. Например, ако условието е „… е човек, който знае кой е Сократ“, това е множеството от всички хора, които знаят кой е Сократ; ако условието е „… е по-голямо от самото себе си“, това е нулевото множество (множеството без елементи), защото нищо не е по-голямо от самото себе си; и т.н. Тогава да разгледаме условието „… е множество, което не е елемент на самото себе си“. Според Comprehension принципа множеството от нещата, които не са елементи на самите себе си, съществува. Да го наречем X. Множеството X или отговаря на горното условие, или не – т.е. или е елемент на самото себе си, или не. Ако е елемент на самото себе си, то не е елемент на самото себе си, защото съдържа само множества, които не са елементи на самите себе си. Ако не е елемент на самото себе си, то е елемент на самото себе си, защото съдържа всички множества, които не са елементи на самите себе си. Получава се, че X е елемент на себе си, ако и само ако не е елемент на себе си, което е противоречие.

Ръсел смята, че двете групи парадокси (в частност горните два) са резултат от вид порочен кръг, за чието блокиране трябва да се възприеме следният принцип, наречен от него „принцип за порочния кръг“ („vicious-circleprinciple“): „никоя тоталност не може да съдържа членове, дефинирани в термините на самата нея“, или (в по-технически език) „Нещо, което съдържа привидна променлива, не трябва да бъде възможна стойност на тази променлива.“ В по-съвременна терминология привидните променливи(apparentvariables) сасвързани променливи, които за простота бихме моглида разглеждаме, като отговарящи на думата „всеки“. Например в изречението „Всяко нещо е идентично със себе си“ „всяко“ отговаря на свързана от универсален квантор променлива, да кажем „x“: „За всяко x важи, че xе идентично с x“, или (в езика на логиката) „∀x(x=x)“. Според Ръселпарадоксът, който носи неговото име,е резултат на това, че множеството на всички множества, който не са елементи на себе си, бива дефинирано чрезвсички множества(то е съвкупността на тези множества от всички множества, който не са елементи на себе си). Следователно тоталността на всички множества съдържа елемент, дефиниран в термините на същата тази тоталност. Казано по друг начин, в по-техническия език на свързаните променливи,множеството на всички множества, който не са елементи на себе си,съдържа свързана променлива (а именно свързаната с универсален квантор променлива, съдържаща се във всяко множество –последното разбирано като множеството на всички множества). От своя страна обаче множеството на всички множества е множество и значи е „възможна стойност на тази свързана променлива“.

В начина на говорене на Ръсел, към който се придържахме в горния параграф, има нещо доста странно, поне от съвременна гледна точка. Как така едно множество (множеството на всички множества) ще съдържа в себе си свързана променлива. Та нали променливите и свързващите ги квантори са просто писмени знаци (буквата “x” от латинската азбука и знакът „∀“ от изкуствения език на логиката. Обяснението според мен е, че Ръсел не ги разглежда като езикови знаци. Те са част от една твърде богата онтология от абстрактни същности, които могат да имат като части най-различни неща, включително квантори и променливи, както и да разбираме последните. Тези абстрактни същностиса пропозициите и пропозиционалните функции. Мисля че, за да разберем Ръселовата позиция, е важно да направим усилието да не забравяме, че пропозициите и пропозиционалните функции, така както ги разбира Ръсел, не са езикови неща, а абстрактни неезикови същности. Всъщност самите класове се оказват според Ръсел пропозиционални функции (класовете не са езикови неща). Пропозициите и пропозиционалните функции могат да съдържат в себе си квантори и променливи, разбирани като езикови неща (макар че може би Ръсел ги разбира като неезикови неща, към които кванторите и променливите, така както ние ги разбираме – като езикови неща, се отнасят), те самите обаче (пропозициите и пропозиционалните функции)не са езикови неща, а абстрактни, реалнии обективни същности, към които изразите на езика се отнасят.

Пропозициите са абстрактният, неезиков, обективен еквивалент на изреченията (изреченията, притежаващи истинностна стойност – не заповедите, молбите и т.н.). Пропозиционалните функции са съответният абстрактен, неезиков, обективенеквивалент на (простите или съставни) предикати. Например на изречението „Снегът е бял“ отговаря пропозицията Снегът е бял. Двете неща са много различни, въпреки че Ръсел (може би за краткост или от небрежност)изобщо не си даватруд да ги разграничава експлицитно. По подобен начин, на предиката „… е бял“ отговаря пропозиционалната функцияx е бял, която за различни стойности на своя аргумент (променливата x)дава като стойностразлични пропозиции. Например ако xприеме катостойност Сократ (човека – не името), функцията ще даде като стойност пропозицията (не изречението) Сократ е бял;ако x приеме като стойност снега (познатата ни съвкупност от кристали, не съществителното име), функциятаще даде като стойност пропозицията (не изречението) Снегът е бял;и т.н. Освен индивидуални неща, като Сократ и снега, има пропозиционални функции, които приемат като аргументи пропозиции– напримертакава,важна от гледна точка на семантичните парадокси, пропозиционална функция е xе истинно. Имапропозиционални функции, които приемат като аргументи други пропозиционални функции.Такава е например пропозиционалната функцияЗа всяко y, ако x то ye смъртно. Аргументът на тази функция – променливата x (променливата yне е аргумент на функцията, тъй като е свързана от универсалния квантор всяко) – приема като стойности различни пропозиционални функции. Например ако xприеме като стойност пропозиционалната функция y е човек, цялата функция ще даде като стойност пропозицията Всички хора са смъртни(За всяко y, ако у е човек, то ye смъртно).

Тази онтология, включваща индивидуални неща, пропозиционални функции и пропозиции, която Ръсел поставя в основата на логиката и математика (а от там и на всичко останало), му дава възможност да предложи едновременно решение на семантичните итеоретико-множествените парадокси, защото(както ще видим)той интерпретира множествата катопропозиционални функции, а това което изказваме с изречения като „Изречението ‘Снегът е бял’ е истинно“ (аковъпросните изречения не са безсмислени) бива интерпретирано като пропозиции. Теория на типовете предлага решение на парадоксите, катопоставяограничения върху начините,чрез които от индивидуални неща, пропозиционални функции и пропозиции се образуват по-сложнипропозиционални функции и пропозиции.

Нека видим в какво точно се състои тази теория. Индивидуалните неща, пропозициите и пропозиционалните функции се подразделят в групи, наречени „типове“. Идеята е типът на пропозициите или пропозиционалните функции, които съдържат свързани променливи, да е различен (по-висок) от типа на възможните стойности на тези променливи. По този начин ще бъде спазен споменатият по-горе принцип за порочния кръг, съгласно който„нещо, което съдържа привидна променлива, не трябва да бъде възможна стойност на тази променлива“. Ако някоя пропозиция или пропозиционална функция нарушава този принцип, ако съдържа свързана променлива, на която тя самата е възможна стойност, тази пропозиция или пропозиционална функция се обявяват за безсмислени; по-точно безсмислен е изразът, чрез който се опитваме да изразим пропозиция или пропозиционална функция, а всъщност произвеждаме неграматична поредица от звуци или знаци.

Първият тип включва всички индивидуални неща, например Сократ, Платон (хората, не имената) и т.н.

Вторияттипвключва: 1) всички елементарни пропозиции – тези, които не съдържат променливи и квантори, като например Сократ е учител на Платон; 2) всички пропозиции, които съдържат свързани променливи, чиито възможни стойности са индивидуални неща (т.е. неща от първия тип), и които не съдържат друг вид свързани променливи. Такива пропозиции (заедно с елементарните пропозиции) Ръсел нарича „пропозиции от първи ред“. Пример за такива пропозиции е Сократ е учител на някого, която, след като направим съдържащата се в нея свързана променлива експлицитна, е всъщност пропозицията Съществува някакво x, такова, че Сократ е учител на x (в логическа нотация: ∃x (Сократ е учител на x)). Както е известно, „Съществува x, което е такова-и-такова“ е логически еквивалентно на „Не за всяко x е изпълнено, че не е такова-и-такова“, така че реално в горната пропозиция се съдържа променлива свързана от универсален квантор, т.е. става въпрос за всички възможни стойности на променливата x, за които тук подразбираме, че са от първи тип. Тъй като самата пропозиция е от втори тип, тя не може да възможна стойност на своята свързана променлива и принципът за порочния кръг е спазен. 3)Пропозиционални функции, които имат като стойности предишните два вида пропозиции (т.е. пропозиции от първи ред), а като аргументи – индивидуални неща. Пример за такивафункции еСократ е учител на x, както и x е учител на някого (т.е. Съществува някакво y, такова, че x е учител на y). Такива пропозиционални функции Ръсел нарича „функции от първи ред“. Така че можем да обобщим, че вторият тип се състои от пропозиции от първи ред и пропозиционални функции от първи ред. Понятията за ред и тип не трябва да се бъркат (макар че са объркващи) – редът върви с едно по-долу от типа.

Третият типвключва: 1) пропозиции, съдържащи свързана променлива, чиито стойности са от втори тип (и не съдържащи свързана променлива, чиито стойности са от по-висок тип). Такава е например пропозицията Всяка пропозиция от втори тип, изказана от мен днес, не е истинна (в нея има свързана променлива със стойности от втори тип, поради което тя самата е от трети тип), както ипропозицията Съществува релация (от втори тип), в която Сократ се намира към Платон (в нея има свързана променлива със стойности двуместни релации между индивидуални неща, които за Ръсел са пропозиционални функции от първи ред и значи втори тип, поради което цялата пропозиция е от трети тип). Такива пропозиции Ръсел нарича “пропозиции от втори ред”.

Заради пропозиционалните функции при типовете от три (включително) нагоре се получава усложнение, което води до понятието за предикативна функция. За да определим кои пропозиционални функции попадат в трети тип и в типовете нагоре, трябва първо да кажем какво разбира Ръсел под това понятие. Предикативни пропозиционални функции са първо всички функции от първи ред. При тях аргументите са индивиди – така да се каже нещаот нулев ред, а стойностите – пропозиции от първи ред, т.е. редът на стойностите им е с едно по-висок от реда на аргументите им. Това е идеята в понятието за предикативна функция – редът на стойностите да е с едно по-висок от реда на аргументите. Когато една пропозиционална функция има като стойности пропозиции от втори ред е възможно аргументите й да са както от първи ред – тогава тя ще е предикативна, така и от нулев ред – тогава няма да е предикативна. Например, не е предикативна функцията Съществува релация, в която Сократ се намира към x, защото стойностите й са пропозиции от втори ред (виж горния параграф), а аргументите й са от нулев ред. Тази функция е от втори ред, защото стойностите й са пропозиции от втори ред, но не е предикативна функция от втори ред. За Ръсел типът на всички непредикативни функции е неопределен, поради което те не могат да бъдат стойности на свързани променливи. Пример за предикативна функция от втори ред е да кажем Съществува релация, в която Сократ се намира към Платон, и освен това Сократ се намира в релацията (пропозиционалната функция от първи ред)xкъм Платон. Тук функцията приема като аргументи пропозиционални функции от първи ред, а дава като стойности пропозиции от втори ред – редът на едното е с едно по-голям от реда на другото, поради което функцията е предикативна (от втори ред). Когато една функция има повече от един аргументи, е достатъчно редът на един от аргументите й да е с едно по-нисък от реда на стойностите й, за да е предикативна (разбира се редът на другите аргументи не трябва да е по-висок от реда на въпросния един).

След като вече разполагаме с понятието за предикативнапропозиционална функция, можем да продължим с пропозиционалните функции, които се включват в третия тип: това са предикативни пропозиционални функции от втори ред. Обобщено, трети тип се състои от пропозиции от втори ред и предикативни пропозиционални функции от втори ред.

С останалите типове се продължава по същия начиннапред неограничено. n-ти тип включва всички пропозиции от n-1-ви ред и всички предикативни функции от n-1-ви ред.

След като изложихме Ръселовата теория на типовете, некасега видим как с нея се преодоляват семантичните парадокси – в частност изложения по-горе парадокс на Лъжеца. (За да видим как теорията преодолява парадоксите в теория на множествата,ще трябва да видим първо как Ръсел въвежда множествата, което ще направим след малко.)Като всяка функция, една пропозиционална функция е дефинирана за множеството от обектите, които могат да и бъдат аргументи (областта от аргументите й), и е недефинирана за обектите извън това множество. За последните пропозиционалната функция е безсмислена, т.е. привидната пропозиция, която се получава, когато функцията приеме като аргумент такъв обект, всъщност не е пропозиция, и езиковият израз, чрез който уж я изразяваме, е безсмислена поредица от звуци (или знаци).Кояе областта от аргументи на една функция зависи от функцията и теория на типовете определя това по отношение на пропозиционалните функции. Да разгледаме пропозицията от парадокса на Лъжеца, изложен в началото. Изхождаме от това, че пропозицията pе идентична с пропозицията p не е истинно.Това значи, че определен аргумент на дадена пропозиционална функция (функцията x не е истинно)е идентичен с нейната стойност за този аргумент. Последното нарушава теория на типовете поради следното. Ако имаме произволна пропозиция от вида Fa (изразявана чрез изречение, в което едноместен предикат се утвърждава за единичен термин, като например „Сократ е смъртен“), тази пропозиция е логически еквивалентнана пропозицията Съществува някакво x, което е идентично с aи което е F(символно: ∃x(x=a˄Fx)). Следователно при парадокса на Лъжеца следнитепропозиции са всъщност една и съща пропозиция:

р не е истинно                       =          съществува x, което е p и което не е истинно    =          p

Горните равенства ясно показват, че в една пропозиция (втората), в която участва свързана променлива, последната приема за стойност самата пропозиция (понеже приема p, а pе самата пропозиция). Следователно пропозицията p не е истинно, в която p е идентично с нея, всъщност не е пропозиция, а безсмислица.

Изобщо следствие от теория на типовете е, че за да смислена пропозицията Fa, пропозиционалната функция Fи аргументът й aтрябва да бъдат от различен тип, защото Faе логически еквивалентно на ∃x(x=a˄Fx) и значи пропозиционалните функции F… и ∃x(x=…˄Fx) са една и съща функция. Но в последната се съдържа свързана променлива, която приема като стойности аргументите на функцията, и следователно стойностите на функцията и самата функция трябва да са от по-висок тип.

Поради горното пропозиционалната функцияx е истинно, не може да приема всякакви пропозиции като аргументи, а само пропозиции от определен тип, при което дава като стойности пропозиции от по-висок тип (следващия). Това значи, че естественият език ни подвежда и че реално няма един предикат „… е истинно“, изразяващ една пропозиционална функция, а има цяла (безкрайна) йерархия от предикати със съответстващите им пропозиционални функции – да кажем „… е истинно₁“, „… е истинно₂“, … и т.н. – като пропозиционалната функция на първия приема като аргументи само пропозиции от първи тип, на втория – от втори тип и т.н. В частност, за да е смислено изречение с формата „p e истинно_n“, където p е изречение, в което също се съдържа предикат за истинност (какъвто в крайна сметка е случаят с парадокса на Лъжеца), предикатът за истинност в p трябва да има по-нисък индекс от n.

Нека видим сега как теория на типовете решава теоретико-множествените парадокси, в частност парадокса на Ръсел. Класовете според Ръселовата интерпретация са пропозиционални функции и се въвеждат на две стъпки. Първата е постулирането, че всяка пропозиционална функция е (материално) еквивалентна на някаква предикативна пропозиционална функция. Ръсел нарича този постулат „аксиома на редуцируемостта“ („axiom of reducibility“). (Две функции са (материално) еквивалентни, ако техните стойности (които са някакви пропозиции) са истинни или неистинни точно за едни и същи неща като аргументи на функциите. Например можем да приемем, че функцията x е същество със сърце е (материално) еквивалентна на x е същество с бъбреци, защото вероятно всяко нещо, което има сърце, има и бъбреци, и обратно. Материалната еквивалентност, за разлика от логическата еквивалентност, зависи от фактическото положение на нещата (каква е истината). Въпросните две функции не са логически еквивалентни, защото нещата биха могли да бъдат такива, че да има същества със сърце, но без бъбреци, или обратно – логическата еквивалентност е по-силно понятие, което не зависи от фактическото положение.) Например съгласно аксиомата на редуцируемостта съществува предикативна пропозиционалната функция, която е (материално) еквивалентна нафункцията x притежава всяко свойство,което притежава Сократ, и обратно. Последната не е предикативна, защото приема като стойности пропозиции от втори ред (в тях има свързана променлива със стойности свойства, т.е. пропозиционални функции от първи ред), а аргументите й са индивидуални неща (т.е. от 0-ев ред). Такава еквивалентна предикативна пропозиционална функция би трябвало да е x е Сократ (x = Сократ), защото и двете функции би трябвало да дават истинни пропозиции за Сократ и неистинни за всичко друго.

Следващата стъпка е самата дефиниция на понятието за клас (множество), която стъпва върху аксиомата на редуцируемостта. Дефиницията е контекстуална, т.е. дефинират се не самите множества, а техните употреби. Ако имаме произволна пропозиционална функция φ(x) и искаме да кажем нещо за множеството от нещата, които попадат под функцията (т.е. за които функцията дава истинни пропозиции) – Ръсел обозначава това множество с x̂φ(x) – ще го направим в съответствие със следната дефиниция:

… ̂φ(x) …      =_{по дефиниция}       Съществува предикативна функция ψ(x), еквивалентна на φ(x), такава че …ψ(x) …

(„…ψ(x)…“ отгоре трябва да се мисли като пропозиция, т.е. някакви квантори в израза „… …“ свързват променливата x в ψ(x).) Например искаме да кажем, че множеството от тези неща x,които имат всички свойства на Сократ и нямат други, има един елемент. В съответствие с дефиницията ще кажем е, че съществува предикативна пропозиционална функция, еквивалентна на горната (например x = Сократ), която дава истинна пропозиция само за едно нещо. Това което прави дефиницията е, че осигурява истинностната стойност на … x̂φ(x) … да зависи от екстензиятана функцията (множеството от нещата, за които функцията дава истинни пропозиции), а не от самата функция. Например, тъй като пропозиционалните функции х има сърце и x има бъбреци са различни, когато говорим за тях, можем да кажем нещо истинно за едната и неистинно за другата (например изречението „Пропозицията Сократ има сърцее стойност на функцията“ е истинно за едната, но не и за другата). Екстензията на едната и на другата функция обаче е една и съща и не можем да кажем нещо истинно за едната и неистинно за другата. Благодарение на дефиницията, когато говорим за x̂φ(x) по начина постановен от нея, говорим за екстензията на функцията φ, а не за самата функция ф, т.е. говорим за множеството от нещата, които попадат под φ.

Сега можем да видим как теория на типовете преодолява парадоксите в теория на множествата – по-специално парадокса на Ръсел, изложен в началото.По дефиницияа е елемент на множеството x̂φ(x) отговаря на ψ(a), където ψ е съществуващата, предикативна, еквивалентна на φфункция, за която говори дефиницията. Поради това от теория на типовете следва, че за да можем изобщо да говорим, че а е елемент на множеството x̂φ(x), или не, a задължително трябва да е от по-нисък тип от функцията ψ. В парадокса на Ръсел се говори за множеството X (виж в началото), което се състои от нещата (множествата), които не са елементи на себе си. Следователно, говорейки за X, ние говорим за това, че някакво нещо x e (или не е) елемент на множеството xи значи говорим за елемент на множество, което има същия тип като множеството, т.е. говорим е безсмислици. С това парадоксът на Ръсел се решава.

В заключение мисля, че от изложеното става ясно, че едновременното решение на семантичните и теоретико-множествените парадокси чрез теория на типовете е възможно само защото при нейното прилагане в основата на логиката и математиката се поставя онтологията на пропозициите и пропозиционалните функции (по-основното тук са пропозиционалните функции, тъй като пропозициите са техни стойности). Това дава възможност езиковите изрази (изреченията и предикатите) да се третират наравно с неезикови неща (множествата). Без въпросната предпоставена онтология това общо третиране нямаше да е възможно. Този подход не се е наложил исторически и има защо да е така. Негов основен недостатък е, че предпоставяопределена онтология (тази на пропозициите и пропозиционалните функции), върху която да стъпят логикатаи всичкиостанали теории (в частност и математиката, от която теория на множествата е част). Исторически наложилото се разбиране е, че логиката трябва да е онтологически неутрална. Какво съществува или не се определя от различните останали теории, които могат да си противоречат една на друга, но които не трябва да противоречат на логиката, именно поради нейната неутралност. Логиката постига тази онтологическа неутралност като се насочва към езика, тя е логика на всеки език, в който се формулира някаква теория. Напротив, всяка определена онтология е имплицитно следствие от определена теория. Теория на множествата например съдържа имплицитно в себе си (в своите аксиоми) и има като следствие съществуването на множествата и изобщо какво са те. Теория на типовете (също като теория на множествата) е теория – философска теория (Платонистка по своя характер) със своя онтология. Това, което изглежда неприемливо (поне от гледна точка на исторически наложилото се разбиране за характера логиката), е, че тази теория има претенцията да стои в основата на логиката.