Ролята на Трактата за разделянето на логика и математика

Евгени Латинов

Софийски университет „Св. Кл. Охридски", e.latinov@gmail.com

 

До края на 19 век логиката и математиката са били разглежданикато различни области. Основанието за това винаги е било, че логиката е формална, и в този смисъл безсъдържателна, за разлика от всички останали теории, включително и математиката. Макар и неемпирична, математиката винаги е била разглеждана като съдържателна теория.

В края на 19 вектова разбиране се променя благодарение на логицизма - движение във философия на логиката и на математиката, според което математиката се свежда до логиката и в този смисъл е част от логиката. Логицизмът е влиятеленза не малък период от време, катонай-важните му поддръжници сред философите са Фреге и Ръсел, а по-късно и логическите позитивисти.След началото на 30-те години на 20-ти век влиянието на логицизма намалява и нещата отново се връщат в нормалното си състояние -логиката и математиката отново започват дасе разглеждат като различни неща. Някои от факторите, които способстват за залеза на логицизма, са:утвърждаването на формалния език на предикатната логика от първи ред като стандартен език на логиката;утвърждаването на аксиоматичната система на Цермело-Френкел (а не на теория на типовете) като стандартната система в теория на множествата; възникването на логическата семантика и др. Има и философски фактори, като един от тях е промяната в разбирането за логика, за която важна заслуга има Логико-философски трактат на Витгенщайн.

Първо ще разгледамидеите и разбиранията, които според мен водят до възникването на логицизма и чието отричане по-късно води до преодоляването му. След това ще разгледам мястото на Трактата в това развитие.По-конкретно тезата ми ще е, че макари да не може да бъде причислен към логицизма, Витгенщайн е повлиян от негови ключови идеи, катов същото време разбирането му за логиката изиграва важна философска роля за преодоляването му и повторното разделяне на логика и математика.

Ще изхождам от разбирането, чесъществена характеристика на логикатае и винаги е било това, че е неутрална по отношение на всяка възможнасъдържателна теория. T.е., ако една теория е непротиворечива, колкото и да е странна, логиката не трябва да е в противоречие с нея. Това означава, че част от логиката не трябва да бъдат никакви съдържателни тези относно положението на нещата в света - тя не трябва да се ангажира с това, какво съществува, и с това, как стоят нещата по отношение на това, което съществува. Ако такова ангажиране е налице, логиката бисе намирала в противоречиес някаква възможна теория, която се ангажира с обратното, и това би я превърнало в една от многото съдържателни теории. (Неутралността на логиката е тясно свързана с една друга нейна определяща характеристика - това, че е формална.)

Математиката, поне на пръв поглед,не притежава неутралността на логиката. Тя се ангажира със съществуването на определени неща(числа, геометрични фигури и т.н.), както и с това,че теимат определени характеристики и се намират в определени отношенияпомежду си. За всяка математическа теория би могло да сеформулирадруга теория (не непременно математическа), която е непротиворечива и ѝ противоречи. Например, без да изпаднем в противоречие,можем да твърдим(заедно с Аристотел), че не съществуват точки и прави. Как тогава се е стигнало до възгледа, че математиката е логика? За това, както изглежда, има две причини. От една страна в края на 19 век възниква теория на множестватаи благодарение на Дедекинд и други става ясно, че обектите на аритметиката и на математическия анализ - естествените и реалните числа - са сводими до множествата. От друга страна представителите на логицизма в лицето на Фреге и Ръсел разглеждат множествата, както иабстрактнитеобекти, от които множествата са изводими, като предмети на логиката. Като резултат,за логицистите математическитепредмети ставатпредмет на логиката.

Причината,Фреге и Ръсел да третират множествата, както иабстрактните предмети, от които множествата могат да бъдат изведени,като логически предмети,еобщото разбиране, чена всеки предикат в езика отговаря определен абстрактен предметв действителността. При Фреге тези абстрактни предметиса така наречените от негопонятия (в които няма нищо субективно)-функции, които приемат като аргументи индивидии дават като стойности истината илинеистината(отново абстрактни предмети).При Ръселсапропозиционалнитефункции - функции, които приемат като аргументииндивиди или други пропозиционалнифункции и дават като стойности пропозиции- абстрактни предмети, отговарящина изреченията. Именно тези обозначавани от предикатите абстрактни предметиса въпросните логически предмети, до които обектите на математиката се свеждат.

Понятията на Фреге и пропозиционалните функции на Ръсел отговарятна всекидневните понятия за свойствои отношение, а разбирането, че на всеки предикат от езика съответства абстрактен предмет от действителността, отговаря на дълбоко вкоренения във всички нас предразсъдък, че на думи като „човек" или „синьо" съответстватопределени свойства, а на думи като „обича" или „сестра" -определени отношения. Тъй катоФрегевите понятия иРъселовите пропозиционални функции са еквивалентът на свойствата и отношенията, ще ги наричампо този начин, вместо с техническите им наименования. При Фреге всяко свойство и отношение се схваща катоинтензионален обект, скойто е неделимо свързанопределен (също абстрактен)екстензионален обект- множеството от нещата, които попадат под свойството или отношението. (1) При Ръсел свойствата и отношенията се разбират поподобен начин, с тази разлика, че множествата се дефинират контекстуално в термините на свойствата и отношенията. Казано с едно изречение: отговарящите на предикатите свойства иотношения и свързаните с тях множества са логическите предмети, до които логициститесвеждат математическите предмети,като по този начин става възможно математиката да се разглежда като част от логиката.

Изхождайки от разбирането, че всички предикативъв всички теории във всичкиезици обозначаватнякакви свойства или отношения,Фреге и Ръсел имат на разположение онтологията на свойствата и отношенията, а от там и онтологията на множествата.От последните, посредством дълга поредица от дефиниции и доказателства,те успяват да конструират математическитеобектии да изведат базовите истини за тях (едно само по себе си голямо постижение).Основанието всичко това да попадапод рубриката „логика" е, че всяка възможна теория използва предикати и следователно (според разбирането им)всяка възможна теорияпредпоставя съществуването на някакви свойства илиотношения - това предпоставянена свойства или отношения става със самия факт на употреба на езика. Според това разбиране, когато казвам „Някои котки са черни", аз автоматично се ангажирам, както със съществуването на черни котки,така и със съществуването на свойстватачернотаи да бъдеш котка, скоито са неразривно свързанимножествата на черните неща и на котките. Съществената характеристика на логиката - нейната неутралност по отношение на всяка теория и онтология - при логицизма се осигуряваот това, че всяка възможна теория използва предикати, което (според логицизма)я ангажира със съществуването на определени свойства и отношения. Логицизмът е възглед, който принуждава логиката да предпостави онтологиятана свойствата и отношенията, както и свързаната с нея онтология на техните екстензии - множествата.Така логиката се превръща в съдържателна теория - в пределно общата и абстрактна теория за свойствата и отношениятаизобщо. Макар и пределно обща, такава теория е съдържателна.

По-късно логиката бива освободена от тази натрапена ѝ онтология. Това става, когатокато неин стандартен език се налага символният език на предикатната логика от първи ред. Характерно за негое, че символите му за предикати не се отнасят до нищо в действителността. По този начинлогиката вече не се ангажира с онтологията на свойствата и отношенията. Единствените символи в езика на предикатната логика от първи ред, които трябва да се отнасят до нещо в действителността, са единичните термини. Те задължително реферират към нещо, но какво е то зависи от конкретната съдържателна теория и имплицираната от нея онтология. Тази теория може да е такава, че да постулира или имплицира съществуването на свойствата, отношенията или множествата, но може и да е такава, че да отрича тяхното съществуване.Логиката е неутрална по този въпрос. Когато изказвам твърдението „Някои котки са черни",използвайки формализирания език на предикатната логика от първи ред, аз се ангажирам единствено със съществуването на черни котки; не се ангажирам нито със съществуванетона свойствата черно илида бъдеш котка, нито със съществуването на множествата на черните неща или на котките. За да го направя, трябва да направя ново твърдение, в което експлицитно да твърдя, че такива неща съществуват. В това ново твърдение въпросните свойства или множества ще бъдат реферирани не чрез предикатни символи, ачрезединични термини, т.е. чрезсъщия тип символи, чрез които се реферира към черните котки.Тъй като стандартната аксиоматична система на теория на множествата (тази на Цермело-Френкел) се формулира със същия формализиран символен език, в нея трябва да има съдържателни аксиоми, които да гарантират съществуването на множествата и на всички останали математически обекти, както и техните характеристики. Тези аксиоми не са логически валидни изречения (не са тавтологии в термините на Витгенщайн), поради което и не са част от логиката. Логика и математика отново се оказват разделени.

Философията на логикатавТрактата има важна заслуга за повторното разделяне на логика и математика. Заслугата,разбира се, не е само на Витгенщайн. От значение е например формулирането на предикатната логика от първи ред като самостоятелна система от Хилберт и неговите ученици;или формулирането от Тарски на семантиката на предикатната логика от първи ред по такъв начин, че само единичните термини, а не предикатите, реферират към неща. Ролята на Витгенщайн е философска.Тя се състои в разбирането, че изреченията на логиката са тавтологии - т.е. лишени от съдържание изречения, които не казват нищо за действителността. Този възглед се налага и е преобладаващото съвременноразбиране за логиката. (Съвременният термин не е „тавтология", а „логически валидно изречение"). И тъй като преобладаващото разбиране за математиката е, че нейните изреченияне са логически валидни (т.е. не са тавтологии в термините на Витгенщайн), философскатазначимостна Трактатаза разделянето на логика иматематикатаставаочевидна.

По-конкретно, една от главните тези на философията на езика вТрактата е, че истинностната стойност на всяко не-елементарно (т.е. съставно)изречениеефункция от истинностните стойности на определено множество отелементарни изречения, а изреченията на логиката са тези съставни изречения, които са тавтологии, т.е. които са истинни независимо от истинностните стойности на елементарните изречения. По този начинлогиката бива отнесена изключително към езика, а не към действителността. (Изключение прави говоренето за логическо пространство, коетопредметите в действителността определят, но то е свързано с функционирането на елементарните изречения - тавтологиите не са елементарни изречения.) Разбирането, че логиката има отношение единственокъм езика, а не къмдействителността, е ново и е съществено различноот разбирането за логика на Фреге и на Ръсел. Това ново разбиране за логиката е от значение за разделянето ѝ от математиката, защото преобладаващото разбиранеза математиката е, четя се занимава с извън-езикови неща -числа, функции, геометрични фигурии т.н. Спорейки с Фреге и Ръсел, Витгенщайн казва (4.441, 5.4), че не съществуват логически предмети, имайки предвид, че на логическите конектори (например отрицанието) не отговаря нищо в действителността, т.е. че те са част единствено от езика. Във логико-математическите системи на Фреге и Ръсел конекторите би трябвало да се разглеждаткатонещо извън-езиково - пропозиционални функции, които приемат като аргументи пропозиции и дават като стойности отново пропозиции. Пропозиционалните функции при Ръсели техните екстензии при Фреге са абстрактните обекти, които във философията на логицизма се оказват общитепредмети на логиката и на математиката, обуславяйки възгледа, че математиката е част от логиката. Когато тези абстрактни обектипрестанат да бъдат предмет на логиката, но продължат да бъдат предмет на математиката, тявече не може да бъде разглеждана като част от логиката.

Въпреки че разбирането му за логика е важно за преодоляването на възгледа на логицизма, Витгенщайн е повлиян от идеите на логицизма. Нещо повече, възгледите му за начина, по който функционира езикът, и за отношението между логика и математика изглеждат по-близки до логицизма отколкото допреобладаващото съвременно разбиране. Макар и не идентични, вТрактата логиката и математиката се оказватмного близки.Относновлиянието на логицизма върху възгледите на Витгенщайнв Трактатаще се спра на двенеща.Едното е начинът, по който функционират елементарните изречения; другото е разбирането на Витгенщайн за математика, а от там и отношението между математика и логика.

По-рано изтъкнах катоважен фактор за това, да се стигне до разбирането, че математиката е част от логиката, схващането, че предикатитеобозначават неща- свойства илиотношения. Това схващане ангажира логиката с определена онтология от абстрактни същности, от която могат да се изведат множествата, а от там и останалите математически обекти. Така че идеята, че на всеки предикат отговаря определено нещо в действителността,е ключова за логицизма. Тази идея е налице в образната теория за значениетонаТрактата,т.е.втеориятаза начина, по който функционират елементарните изреченияв езика. Според Витгенщайнезикът може да изобразява действителността благодарение на това, че на всяка част наедно елементарно изречение отговаря прост предмет в действителността. Макар че не е ясно коиточно са изреченията, коитоВитгенщайн разглежда като елементарни, почти сигурно е, че това не са граматически простите изречения на съществуващите езици. Едва ли обаче имаме друг изборосвен да мислим за тях понеформално по този начин, т.е. да мислим за логическата им структура като тази на атомарните изречения в предикатната логика, а именно като свързвания на предикати с единични термини.Тогава, ако вземем като хипотетичен пример за едно елементарно изречение „Това е черно", според образната теория за значението както единичният термин „това", така и предикатът „eчерно" трябва да обозначават нещо от действителността - а именнопредметиотонтологията на Трактата. По този начин тази ключоваза логицизма идея, че на предикатите отговарят съществуващи неща, е запазена. Нещо повече, тази идея е основанието за онтологията на Трактата. Според Витгенщайн значението на всяко изречение в езика се свежда до значенията на елементарните изречения, а за да има едно елементарно изречение значениее необходимо всяка негова част да реферира предмет. По този начин това, на всеки прост предикат да отговаря предмет от действителността, се оказванеобходимо условие за съществуването на каквото и да е значение в езика. И тъй като логиката предпоставя наличието на език, излиза, че онтологията на свойствата и отношенията е нещо, което логиката трябва да предпостави. Т.е. при Витгенщайн имаме същата позиция като при Фреге и Ръсел,но развита като онтология, която (поне външно) е отделена от логиката - онтологията на логическото пространство, което предметите определят. Разликата с Фреге и Ръсел е, че при тях онтологията на свойствата и отношенията е част от логиката, докато при Витгенщайн онтологията е нещо различно от логиката, защото логиката според него се отнася само до езика (тя е логика на езика, а не логика на езика и действителността). Въпреки това онтологията на логическото пространство наТрактата е необходимо условие за съществуването наезик, а от там индиректно и за съществуването на логика.

Съществена разлика между Витгенщайн, от една страна, и Фреге и Ръсел, от друга, е, че според Витгенщайн само елементарните предикати реферират неща. Логико-математическите системи на Фреге и Ръсел предпоставят, че навсеки смислен предикат отговаряопределено свойство или отношение. По-конкретно символиката на Фреге отговаря на езика на предикатна логика от втори ред, в която важи принципът, че по отношение на всяко формулируемо условие в този език (т.е. по отношение на всеки възможенсъставен предикат) съществува свойство или отношение, което му отговаря. По подобен начин системата наPrincipia mathematicaгарантира, че за всеки възможен съставен предикат, който е в съгласие сРъселовата теория на типовете, съществува пропозиционална функция (т.е. свойство или отношение), което му отговаря. Така че този ключов за логицизма принцип е налице и при Витгенщайн, но е чувствително отслабен, доколкото важи само за елементарни предикати.

Също и философията на математиката в Трактата в някакъв смисъл е в съгласие с духа на логицизма, защото, макар и не идентични,математика и логика се оказват много близки помежду си. Причината за близосттаим е точно обратната на тази, поради коятоги уеднаквяват Фреге и Ръсел.За последните абстрактните предмети на свойствата и отношенията и свързаните с тях множества са нещо, с което се занимаваткакто логиката, така и математиката. За Витгенщайн,напротив, както не съществуват логически предмети, така не съществуват и математически предмети. Изреченията на математиката, също както изреченията на логиката, са псевдо изречения, които не изразяват положения на нещата,поради което са лишени от смисъл.

Според Витгенщайн математическите изреченияса равенствамежду естествени числа. (Философията на математиката в Трактата е доста фрагментарна. Тя се занимава само с аритметичните операции на събирането и умножението между естествени числа, като по някаква причина игнорира неравенствата-твърденията, че нещо е по-малко от друго нещо, които също са част от езика на аритметиката.) Това, че равенствата се оказват псевдо-изречения, изглежда отново свързано с принципа, че елементарните изречения получават значение чрез това, че всяка тяхна част реферирапредмет от действителността, защото тогавапри крайния логически анализ на различни предмети биха отговаряли различни прости символи, а на един и същ предмет - един и същ прост символ. Като резултат при крайния логически анализ това, че нещо е идентично с нещо, или чее различно от нещо,може само да се покаже чрез това, че обозначаващите символи са един и същ символ или различни символи - то не може да се изрази с изречение, а равенствата са изречения. В съответствие с това равенствата саобявени за безсмислени.

Философията на математиката в Трактата може да се характеризира като формализъм, за разлика от реализма (или платонизма) на Фреге и Ръсел. Математиката според Витгенщайн не е теория, която се занимава с предмети от действителността (било то абстрактни, или не), а има отношение единствено към операции с изразиот езика. Математиката и логиката се оказват нещо много близко, първо, защото техните изречения са псевдо изречения,и, второ, защото ги свързва понятието за изчисление, в основата на което стои понятието за операция. Витгенщайн схваща операциитекато приложими единственокъм изрази от езика, като чрезприлагането им се получат нови изрази от езика. В логиката има само една операция - тази на едновременно отричане на множество от изречения. Т.е.,това е операция, коятосе прилага към произволно множество от изречения,в резултат на което се получава ново изречение, което е истинно, ако и само ако всички изречения от множеството са неистинни.Тази операция се прилага отначалокъм елементарни изречения, а след това и къмрезултатите от предишни прилагания. Така, чрез прилагане на операцията отново и отново,възникват всички съставни изречения, които по този начин се оказват истинностни функции от елементарни изречения. (Съществена разлика на логиката на Витгенщайн от стандартната пропозиционална логика е, че съставните изреченията не са непременно истинностни функции от краен брой изречения. Причината е, че операцията може да се прилага и към безкрайни множества от изречения. По този начин стават възможни безкрайни конюнкции, безкрайнидизюнкции и т.н.)

В някакъв смисъл математиката в Трактата се оказва нещо по-общо от логиката, защото числата сагенерализация на понятието за итерации на еднаоперация. Числата се отнасят до прилагането - отново и отново - на която и да е операция, докатоизреченията на логиката (тавтологиите) са резултат от всички възможни итерации на една-единствена конкретнаоперация.

По принцип естествените числа се получават чрез последователно добавяне на единица към едно начално число (нулата). На добавянето на единица в Трактата отговаря прилагането на каквато и да е операция към резултата от предишното ѝ прилагане. Например, акотръгнем от едно елементарно изречение(на което можем да си представим, че отговаря числото 0) и го отречем, на отрицанието муби отговаряло числото 1; ако отречем отреченото, на това би отговарялочислото 2 и т.н.Идеята при числата обаче е, че не става въпрос за определена операция (каквато еотрицанието или добавянето на единица), а за всяка възможнаоперация. Например, ако гледаме само операцията на отрицанието,би се оказало, че 2 е равно на 0, защото всяко изречение е логически еквивалентно на отрицанието на отрицанието му. 2 обаче не е равно на 0, защото при числатастава въпрос за която и да е операция - не при всяка операция прилагането на прилагането ѝдава същото нещо, от което сме тръгнали.

За Витгенщайн математиката нее самостоятелна теория - тяизобщо не е теория, защотоспоред него започва и свършва с употребата нане-математическите изречения. Единственатафункцияна математиката е възможносттада се заключава от определени не-математически изречения към други не-математически изречения.Например, от истинността на изречението „Във всеки от джобовете ми има по 2евро"бих могъл да заключа за истинността на изречението „Вдвата ми джоба има общо 4 евро". Интуитивно основанието за това заключение е равенството „2+2=4", но според Витгенщайн то е псевдо изречение и не е нужно (в качеството му на изречение) за заключението. Това което е нужно са имплицитно съдържащите се в това равенство закономерности на последователното прилагане, отново и отново, на която и да еоперация.

Несъмнено имааналогия между изреченията на логиката и тези на математиката. Също като тавтологиитеравенстватаса лишени от смисъл псевдо изречения. Също както при тавтологиите при равенстватаима нещо, което стои зад тях, и прави възможно заключаването от истинността на определенине-математически (и поради това смислени) изреченияза истинността на други такива изречения.Това което обединява логиката и математиката в Трактата е идеята за едно изчисление, насочено към практическото използване на езика.

Философията на математикатавТрактатаизобщо няма успеха на философията на логиката вТрактата. Поради неговата странност и крайност разбирането на Витгенщайн за математика няма почти никакво влияние. Като резултат от това философията на математиката вТрактатапонякоганеправилносеотъждествява с философията на логиката вТрактата. Така например Рамзи, който е вдъхновен последовател на философията на Витгенщайн, смята (Ramsey 1931) за негов голям принос теорията, че изреченията на математиката са тавтологии. Витгенщайн обаче не ги разглежда като тавтологии, а като равенства, и макар по някои формални характеристикиравенствата и тавтологиите в Трактатада се оказват много близки, те определено са различни неща.

Разбирането на Витгенщайн за логика, за разлика от разбирането му за математика,ставапреобладаващо разбиране във философия на логиката. Паралелно с това разбирането на Фреге и Ръсел за математика, за разлика от разбирането им за логика, става преобладаващото разбиране във философия на математиката. (Под „разбирането на Фреге и Ръсел за математика" разбирам това, че математиката се състои от теории за абстрактни обекти -множества, функции, числа и т.н.) Така че в крайна сметка побеждава възгледът на Фреге и Ръсел за математиката, а не за логиката, и възгледът на Витгенщайн за логиката, а не за математика. Логиката и математиката се оказват отново разделени, както винаги са били.

 

Бележки:

(1) В случая разликата между интензионалени екстензионален се състои само в това, че ако под дадени свойства (отношения) попадат едни и същи неща, те може и да не са едно и също свойство (отношение), докато ако дадени множества имат едни и същи елементи, те задължително са едно и също множество.

 

Литература:

Ramsey, F., „The Foundations of mathematics", in The Foundations of Mathematics and other essays,Routledge & Kegan Paul LTD, 1931